Дифференциальное исчисление функции одной переменной

⇐ Предыдущая

Следующая ⇒

б) у =

101-110. Найти производные функции:

а) у = (3х²− 5/х²+ 1)⁵,

101.

в) у = 2^arctg^х ∙arcsin 2х, г) у = lncos 6х д)

б)

а) у = (4х⁶-5

– 7)³

102.

в) у = е^sin^х ∙ arctg 4х г) у = sinln 7х д)

а) у = (х⁶ + 3/x⁴- 8)⁸

б) у =

103.

2х² – ctg х б) у =

а) у = (3х²–2

+ 5)⁶,

в) у = 4^arctg^x ∙ cos 6х г) у = ln arcsin 2х д)

104.

в) у = е^arcsin^х ∙ cos 4х, г) у = arctg ln 5х д)

а) у = (2х⁴ +

– 7)⁴,

б) у=

105.

у = 5^6х ∙ arcsin 5х, г) у = lnsin 7х д)

а) у = (5х² – 3

– 2)⁴,

2х + etg x б) у =

106 .

б) у=

а) у = (х³ – 3/ х⁸ + 4)²,

в) у = е^sin^х ∙ arccos 3х, г) у = arctg ln 7х д)

107.

в) у = 4^tg^х ∙ arctg 3х, г) у = lncos 4х д)

а) у = (3х⁶ + 2

– 8)⁵,

ctgх - cosх б) у =

108.

в) у = е^х² · arcsin 2х, г) у = arctg ln 5х д)

б) у = cos 2х

а) у = (2х⁴ – 3

– 1)⁴,

109.

в) у = 5^а^rctg^х · sin 4х, г) у = ln arcsin 3х д)

а) у = (3х⁵ –1/х⁴+ 7)³,

б) у =

110.

в) у = е^arcsin^х · ctg 3х г) у = arctg ln 8х д)

111-120. Найти производные второго порядка от функций:

111. у = cos3х · е^sin^х у = lnarctg 2x

112. у = 2^3х · tg2х у = cosln 5х

113. у = е^tg^х · ln2х у = cos

114. у = 2^8х · tg3х у = arcsin ln4х

115. у = е^tg^х · sin4х у = sin ln5х

116. у = 3^ctg^х · arcsin (х²) у = lnsin 6х

117. у = е^с^tg^х · cos6х у = sin ln2х

118. у = 4^cos^х · arctg2х у = lncos 5х

119. у = е^х² · tg7х у = arcsin ln2х

120. у = 2^sin^х · arcsin2х у = lncos 7х

121-130. Найти производные указанного порядка от функций:

121. у⁽¹⁵⁾для у = cos5х 122. у⁽⁵⁾для у = (e^x + e^–^x )/2

123. у⁽⁹⁾для у = sin7х 124. у⁽⁷⁾для у = sin(1–2х)+ 3^2х

125. у⁽⁸³⁾для у = e²^x 126. у⁽⁵⁾для у = cos7x + lnx

127. у⁽⁷¹⁾для у = 5^–3^x 128. у⁽¹⁴⁾для у = log₅x

121. у⁽⁵⁾для у = (e^x – e^–^x )/2 122. у⁽¹¹⁾для у = х^1/2

lncosх lim х→о х

lim х→а

131-140. Найти пределы, раскрывая неопределенности по правилу Лопиталя.

131. а) б)

х³ + х lin х→∞ х⁴ – 3х² + 1

в)

e^х – 1 lim х→о sin х

e^αх – cos αх lim х→о e^βх – cos βх

132. а) б)

(х² + 1)⁵⁰ lim х→∞ (х + 1)¹⁰⁰

в)

х – arctg х lim х→о х³

e^а– 1 lim х→о √ sin вх

133. а) б)

х⁴ – 5х lim х→∞ х² – 3х + 1

в)

х – sin х lim х→о х – tg х

π– 2 arctg х lim х→∞ ln (1 + 1/х)

134. а) б)

х² – 1 lim х→∞ 2х⁶ + 1

в)

а^х – в^х lim х→о с^х – d^х

х^m – а^m lim х→а хⁿ – аⁿ

135. а) б)

1 + х – 3х² lim х→∞ 1 + х² + 3 х³

в)

e^х² – 1 lin х→о cosх –1

e^х – e^-х lim х→о sinх · cosх

136. а) б)

в)

cos х · ln (х – а) lim х→а ln (e^х – e^а)

а^х – в^х lim х→о х ·

137. а) б)

в)

e^х – e^–х – 2х lim х→о х – sinх

e^tg^х – e^х lim х→о tgх – х

138. а) б)

х³ – 100х² + 1 lim х→∞ 100х² + 15х

в)

ln sin 2х lim х→о ln sin х

e^х – 1 – х lim х→о sin² 2х

139. а) б)

1000 х³ + 3 х² lim х→∞ 0,001 х⁴ – 100 х³+1

в)

ln (х – 1) lim х→1 ctg πх

ln х lim х→о ln sin х

140. а) б)

х lim х→∞ ln(1 + x)

в)

Применения дифференциального исчисления

141-150. Исследовать функции и построить их графики.

Исследования функций и построение графиков рекомендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать на четность, нечетность, периодичность.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в точках разрыва.

5. Найти точки экстремума функции и интервалы ее монотонности.

6. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости графика функции.

7. Найти асимптоты графика функции.

8. Построить эскиз графика, используя результаты предыдущих исследований.

141. а) у = 2х³ + 3х² – 36х – 21

в) у = 2sin² 2х +1 , 0 £ x £ p/2

142. а) у = 2х³ + 15х² + 36 + 32

в) у = –cos² 2х +2 , p/4 £ x £ p/4

143. а) у = 2х³ – 15х² + 24х + 4

в) у = – ln² |х|

144. а) у = 2х³ – 9х² – 24х + 61

в) у = e ^sinx – 2 , 0 £ x £ p

145.

в) у = 2^cosx, – p £ x £ p

146.

в) у = – arcsin|x| + p/2, –1£ x £ 1

147.

в) у = – arccos|x| – p

148.

в) у = – 2arctgx²

149.

в) у = – 2xsinх , p/2 £ x £ p/2

150.

в) у = 3^–^sinx, – p/2 £ x £ p

151-160. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f(х) на отрезке [α; β] и написать уравнения касательной и нормали к кривой у = f(х) в точке х₀:

151. , х₀=1

152. , х₀=–1

153. , х₀=2

154. , х₀=–2

155. , х₀=1

156. , х₀=–1

157. , х₀=3

158. , х₀=–3

159. , х₀=1

160. , х₀=2

Неопределенный интеграл

161-170. Вычислить неопределенные интегралы. В пунктах а) и б) результаты проверить дифференцированием.

161.

162.

163.

164.

165.

166.

167.

168.

169.

170.

Определенный интеграл

171-180. Вычислить определенные интегралы:

171. 172.

173. 174.

175. 176.

177. 178.

179. 180.

181-190. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми:

181. a) б) в)

182. a) б) в)

183. а) б) в)

184. а) б) в)

185. а) б) в)

186. а) б) в)

187. а) б) в)

188. а) б) в)

189. а) б) в)

190. а) б) в)

191-200. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг а) оси ОХ, б) оси OY фигуры, ограниченной линиями.

191. 192. 193. 194.

195. 196. 197. 198.

199. 200.

201-210. Вычислить приближенно данные интегралы, пользуясь формулой Симпсона и формулой трапеций. Если интеграл вычисляется точно, сравнить его приближенное значение с точным. (Число n частичных интервалов задается в скобках).

201. а) 202. а)