Проверка нормальности закона распределения по критерию Пирсона
Результаты измерений.
Таблица1
38,86 | 38,58 | 38,83 | 38,72 | 38,72 | 38,75 | 38,68 | 38,71 | 38,76 | 38,91 |
38,80 | 38,83 | 38,71 | 38,89 | 38,80 | 38,69 | 38,81 | 38,82 | 38,86 | 38,74 |
38,85 | 38,84 | 38,75 | 38,80 | 38,83 | 38,98 | 38,76 | 38,85 | 38,73 | 38,94 |
38,77 | 38,98 | 38,76 | 38,72 | 38,78 | 38,66 | 38,64 | 38,76 | 38,75 | 38,84 |
38,80 | 38,67 | 38,87 | 38,75 | 38,85 | 38,81 | 38,76 | 38,58 | 38,84 | 38,88 |
38,80 | 38,87 | 38,85 | 38,87 | 38,77 | 38,93 | 38,75 | 38,75 | 38,77 | 38,86 |
38,86 | 38,76 | 38,72 | 38,81 | 38,80 | 38,85 | 38,75 | 38,89 | 38,79 | 38,92 |
38,66 | 38,85 | 38,80 | 38,65 | 38,93 | 38,82 | 38,84 | 38,75 | 38,70 | 38,74 |
38,64 | 38,79 | 38,71 | 38,92 | 38,72 | 38,87 | 38,67 | 38,86 | 38,94 | 38,98 |
38,80 | 38,83 | 38,67 | 38,83 | 38,80 | 38,93 | 38,83 | 38,88 | 38,88 | 38,92 |
Результаты измерений в порядке возрастания.
Таблица 2
38,58 | 38,58 | 38,64 | 38,64 | 38,65 | 38,66 | 38,66 | 38,67 | 38,67 | 38,67 |
38,68 | 38,69 | 38,7 | 38,71 | 38,71 | 38,71 | 38,72 | 38,72 | 38,72 | 38,72 |
38,72 | 38,73 | 38,74 | 38,74 | 38,75 | 38,75 | 38,75 | 38,75 | 38,75 | 38,75 |
38,75 | 38,75 | 38,76 | 38,76 | 38,76 | 38,76 | 38,76 | 38,76 | 38,77 | 38,77 |
38,77 | 38,78 | 38,79 | 38,79 | 38,8 | 38,8 | 38,8 | 38,8 | 38,8 | 38,8 |
38,8 | 38,8 | 38,8 | 38,81 | 38,81 | 38,81 | 38,82 | 38,82 | 38,83 | 38,83 |
38,83 | 38,83 | 38,83 | 38,83 | 38,84 | 38,84 | 38,84 | 38,84 | 38,85 | 38,85 |
38,85 | 38,85 | 38,85 | 38,85 | 38,86 | 38,86 | 38,86 | 38,86 | 38,86 | 38,87 |
38,87 | 38,87 | 38,87 | 38,88 | 38,88 | 38,88 | 38,89 | 38,89 | 38,91 | 38,92 |
38,92 | 38,92 | 38,93 | 38,93 | 38,93 | 38,94 | 38,94 | 38,98 | 38,98 | 38,98 |
n=100;
S=3879,85.
Определяем среднее арифметическое и стандартное отклонения для данных таблицы 1.
- среднее арифметическое;
;
- стандартное отклонение;
=0,086531.
2. С помощью правила «трех сигм» проверяем наличие или отсутствие грубых промахов.
U = 38,98 - максимальное значение многократных измерений (таблица 2);
U = 38,58 - минимальное значение многократных измерений (таблица 2);
> U
=38,98;
< U
=38,58.
Таким образом, ни один из результата не выходит за границы интервала , следовательно, с вероятностью 0,9973 гипотеза об отсутствии грубых погрешностей принимается.
Построение гистограммы и выдвижение гипотезы о виде закона распределения вероятности
Для того, чтобы построить гистограмму, необходимо результаты отдельных измерений расположить в так называемый вариационный ряд по возрастанию их численных значений (таблица 3).
Таблица 3
U | 38,58 | 38,64 | 38,65 | 38,66 | 38,67 | 38,68 | 38,69 | 38,7 | 38,71 | 38,72 |
m | ||||||||||
U | 38,73 | 38,74 | 38,75 | 38,76 | 38,77 | 38,78 | 38,79 | 38,8 | 38,81 | 38,82 |
m | ||||||||||
U | 38,83 | 38,84 | 38,85 | 38,86 | 38,87 | 38,88 | 38,89 | 38,91 | 38,92 | 38,93 |
m | ||||||||||
U | 38.94 | 38.98 | ||||||||
m |
Участок оси абсцисс, на котором располагается вариационный ряд значений физической величины, разбивается на k одинаковых интервалов . При выборе интервалов следует придерживаться следующих рекомендаций (таблица 4):
Таблица 4
Число измерений «n» | Число интервалов «k» |
40-100 | 7-9 |
100-500 | 8-12 |
500-1000 | 10-16 |
1000-10000 | 12-22 |
Тогда:
=
;
n=100,
k=8.
Полученное значение округляется до возможно меньшего числа значащих цифр для удобства последующих действий.
=
;
Начало первого интервала выбираем таким образом, чтобы это значение оказалось меньше, чем минимальный результат вариационного ряда. Последний интервал должен покрывать максимальное значение ряда.
Выберем для нашего вариационного ряда первый интервал в точке 38.55, тогда последний интервал окажется в точке 39. Занесем данные в таблицу 5.
Затем для каждого интервала подсчитывается количество m , попавших в данный интервал и определяем
по формуле:
;
Если в интервал попадает меньше 5 наблюдений, то такие интервалы объединяются с соседними. Результаты производимых вычислений заносим в таблицу 5, а затем строим гистограмму.
Из вида гистограммы на рисунке 1 можно сделать предположение о том, что вероятность результата измерения подчиняется нормальному закону. Проверим правдивость этой гипотезы.
Проверка нормальности закона распределения по критерию Пирсона
Если выдвинута гипотеза о нормальности распределения, то для расчета вероятностей используется функция Лапласа:
;
В нашем случае значения и
соответствуют началу и концу интервала. Для каждого из этих значений рассчитаем относительный доверительный интервал
:
;
Из таблицы функции Лапласа, приведеной в приложении 1 методических указаний, найдем соответствующее значения этой функции и
:
-
;
Рассчитаем значение критерия для каждого интервала по формуле:
;
Найдем суммарное значение =1.252395884.
Определим табличное (критическое) значение , задавшись доверительной вероятностью 0,95 и вычислив по формуле:
r = k -3 - число степеней свободы;
r = 7 - 3 = 4.
=9.488 (приложение 2 из методических указаний);
>
.
Таким образом, с вероятностью 0,95 гипотеза о нормальности распределения вероятности результата измерения принимается.
Рисунок 1
В тех же координатах, что и гистограмма, следует построить теоретическую кривую плотности вероятности. Для этого рассчитываем значения плотности вероятности для середины каждого интервала по формуле:
;
;
;
;
;
Полученные точки соединяем плавной кривой, симметричной относительно математического ожидания (рисунок 1).
Таблица 5
i | Интервалы | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |||||||||
38.55 | 38.60 | 0.5 | -2.87 | -1.72 | -0.4979 | -0.4573 | 0.0406 | 0.21763546798 | ||
38.60 | 38.65 | |||||||||
38.65 | 38.70 | 1.6 | -1.72 | -1.14 | -0.4573 | -0.3729 | 0.0844 | 0.2293838862 | ||
38.70 | 38.75 | 3.8 | -1.14 | -0.56 | -0.3729 | -0.2123 | 0.1606 | 0.53820672478 | ||
38.75 | 38.80 | 4.2 | -0.56 | 0.02 | -0.2123 | 0.0080 | 0.2203 | 0.04815705855 | ||
38.80 | 38.85 | 4.2 | 0.02 | 0.60 | 0.0080 | 0.2257 | 0.2177 | 0.02723472668 | ||
38.85 | 38.90 | 2.8 | 0.60 | 1.17 | 0.2257 | 0.3790 | 0.1533 | 0.11538812785 | ||
38.90 | 38.95 | 2.4 | 1.17 | 2.33 | 0.3790 | 0.4898 | 0.1108 | 0.07638989169 | ||
38.95 |