Обработка косвенных измерений

Косвенные измерения в практике электрических измерений встречаются довольно часто. Вопрос оценки погрешности резуль­тата измерения – один из важнейших в таких экспериментах. Имея подробную исходную информацию о применяемых средствах из­мерения, измеряемых величинах и условиях проведения экспери­мента, можно достаточно строго решить задачу оценки суммарной погрешности результата измерения. Правда, требуется четко ого­варивать все допущения. Возможны два подхода к решению этой задачи: детерминированный и вероятностный, рассмотрим пер­вый подход.

Детерминированный подход (иногда называемый методом наи­худшего случая) более характерен для обычных технических изме­рений и экспресс-измерений с их обычно упрощенными моделя­ми процессов и подходами. Перед рассмотрением этого подхода оговорим необходимые допущения:

а) инструменты исправны, имеют реальные погрешности, соот­ветствующие своим классам точности. Причем их погрешности – только систематические, т.е. не меняющиеся в течение данного эксперимента. Случайных погрешностей нет;

б) исходные измеряемые величины характеризуются неизмен­ными (в течение данного эксперимента) значениями основных параметров;

в) условия работы СИ – нормальные или рабочие;

г) функциональная зависимость искомой величины Y от исходных величин Хi, известна достаточно точно;

д) оператор имеет достаточную квалификацию.

Если интересующая нас величина Y связана с исходными вели­чинами Хi, известной функциональной зависимостью F:

Y =F(X1, X2,…, Xn )

и предельные значения абсолютных погрешностей Δi – определения каждой исходной величины Хi известны, то предельное значение абсолютной погрешности ΔY результата измерения искомой вели­чины Y вобщем случае можно определить по так называемой фор­муле накопления частных погрешностей:

ΔY =

где dF/dXi – частные производные функционала F по каждой исходной величине в точках, соответствующих найденным значениям величин Xi;Δi – предельные значения абсолютных погрешностей определения исходных величин Хi.

Рассмотрим два частных, но довольно распространенных, слу­чая функциональной зависимости F.

Первый частный случай – функционал F имеет вид суммы. Если функциональная зависимость имеет вид

Y= ,

где ai – коэффициенты функциональной зависимости, то пре­дельное значение абсолютной погрешностиΔY определяется по формуле

ΔY = .

Относительная погрешность δY, %, при этом может быть найдена обычным образом:

δY = ΔY /Y´ 100 .

Например, если Y = 5Х1 + 2Х2 + Хъ, то ΔY = 5Δ1 + 2Δ2 + Δ3.

Второй частный случай – функционал F имеет вид произведе­ния. Если функциональная зависимость имеет вид

Y = ,

где П – знак произведения п сомножителей; αi – коэффициенты – показатели степени исходных величин Xi,то предельное значение относительной погрешности δYопределяется по формуле

= ,

где δi – предельные значения относительных погрешностей опре­деления исходных величин Xi.

Предельное значение абсолютной погрешности ΔY затем находится обычным образом:

ΔY = δYY/100.

Например, если функционал Y имеет вид

Y = X12 X23/X35,

то значение относительной погрешности

δY = 2δ1 + 3δ2 + 5δ3.

И хотя формально третье слагаемое должно входить в сумму со знаком минус, но, поскольку предельные значения отдельных погрешностей практически всегда симметричны (±), то в худшем случае (самое неблагоприятное сочетание значений и знаков всех составляющих) предел общей погрешности есть сумма модулей отдельных составляющих.