Задачи к контрольным заданиям
Статика
Задача С1
Конструкция состоит из жесткого угольника и стержня, которые в точке или соединены друг с другом шарнирно (рис. С1.0–С1.5), или свободно опираются друг о друга (рис. С1.6–С1.9).
Рис. С1.0 Рис. С1.1
Рис. С1.2 Рис. С1.3
Рис. С1.4 Рис. С1.5
Рис. С1.6 Рис. С1.7
Рис. С1.8 Рис. С1.9
Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются в точке или шарнир, или жесткая заделка; в точке
или гладкая плоскость (рис. С1.0 и С1.1), или невесомый стержень
(рис. С1.2 и С1.3), или шарнир (рис. С1.4– С1.9); в точке
или невесомый стержень
(рис. С1.0, С1.3, С1.8), или шарнирная опора на катках (рис. С1.7).
На каждую конструкцию действуют: пара сил с моментом
, равномерно распределенная нагрузка интенсивности
и еще две силы. Эти силы, их направления и точки приложения указаны в табл. С1; там же в столбце «Нагруженный участок» указано, на каком участке действует распределенная нагрузка (например, в условиях № 1 на конструкцию действуют сила
под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная в точке
, сила
под углом 30° к горизонтальной оси, приложенная в точке
, и нагрузка, распределенная на участке
).
Определить реакции связей в точках ,
,
(для рис. С1.0, С1.3, С1.7, С1.8 еще и в точке
), вызванные заданными нагрузками.
При окончательных расчетах принять м. Направление распределенной нагрузки на различных по расположению участках указано в табл. С1а.
Указания. Задача С1 – на равновесие системы тел, находящихся под действием плоской системы сил. При ее решении можно или рассмотреть сначала равновесие всей системы в целом, а затем равновесие одного из тел системы, изобразив его отдельно, или же сразу расчленить систему и рассмотреть равновесие каждого из тел в отдельности, учтя при этом закон о равенстве действия и противодействия. В задачах, где имеется жесткая заделка, учесть, что ее реакция представляется силой, модуль и направление которой неизвестны, и парой сил, момент которой тоже неизвестен.
Таблица С1
Сила | Нагруженный участок | ||||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||||
№ условия | Точка приложения | α, град | Точка приложения | α, град | Точка приложения | α, град | Точка приложения | α, град | |
K | – | – | H | – | – | CL | |||
– | – | L | – | – | E | CK | |||
L | – | – | K | – | – | AE | |||
– | – | K | – | – | H | CL | |||
L | – | – | E | – | – | CK | |||
– | – | L | – | – | K | AE | |||
E | – | – | K | – | – | CL | |||
– | – | H | L | – | – | CK | |||
– | – | K | – | – | E | CL | |||
H | – | – | – | – | L | CK |
Таблица С1а
Участок на угольнике | Участок на стержне | ||
горизонтальный | вертикальный | рис. С1.0, С1.3, С1.5, С1.7, С1.8 | рис. С1.1, С1.2, С1.4, С1.6, С1.9 |
![]() ![]() ![]() ![]() |
Пример С1.
На угольник (
), конец
которого жестко заделан, в точке
опирается стержень
(рис. С1,а). Стержень имеет в точке
неподвижную шарнирную опору и к нему приложена сила
, а к угольнику – равномерно распределенная на участке
нагрузка интенсивности
и пара с моментом
.
Рис. С1
Дано: кН,
,
,
м.
Определить: реакции в точках ,
,
.
Решение:
1. Для определения реакций расчленим систему и рассмотрим сначала равновесие стержня (рис. С1,б). Проведем координатные оси
и изобразим действующие на стержень силы: силу
, реакцию
, направленную перпендикулярно стержню, и составляющие
и
реакции шарнира
. Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия:
(1)
(2)
(3)
2. Теперь рассмотрим равновесие угольника (рис. С1,в). На него действуют сила давления стержня , направленная противоположно реакции
, равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем силой
, приложенной в середине участка
(численно
кН), пара сил с моментом
и реакция жесткой заделки, слагающаяся из силы, которую представим составляющими
и
, и пары с моментом
. Для этой плоской системы сил тоже составляем три уравнения равновесия:
(4)
(5)
. (6)
При вычислении момента силы разлагаем ее на составляющие
и
и применяем теорему Вариньона. Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив систему уравнений (1)–(6), найдем искомые реакции. При решении учитываем, что
в силу равенства действия и противодействия.
Ответ: кН,
кН,
кН,
кН,
кН,
. Знаки «–» указывают, что силы
,
и момент
направлены противоположно показанным на рисунках.
Кинематика
Задача К1
Плоский механизм (рис. К1.0 – К1.9) состоит из стержней 1–4 и ползуна , соединенных друг с другом и с неподвижными опорами
и
шарнирами. Точка
находится в середине стержня
. Длины стержней равны соответственно
м,
м,
м,
м. Положение механизма определяется углами
. Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К2. Точка
на всех рисунках и точка
на рис. К1.7 – К1.9 в середине соответствующего стержня. Угловое ускорение стержня 1
с-1.
Рис. К1.0 Рис. К1.1
Рис. К1.2 Рис. К1.3
Рис. К1.4 Рис. К1.5
Рис. К1.6 Рис. К1.7
Рис. К1.8 Рис. К1.9
Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол на рис. К1.8 отложить от
против хода часовой стрелки, а на рис. К1.9 – по ходу часовой стрелки и т.д.).
Определить ускорение точки звена 1 и величины, указанные в таблице в столбце «Найти».
Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом ; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К1 (см. рис. К1б).
Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против часовой стрелки, а заданную скорость – от точки
к
(на рис. К1.5 – К1.9).
Указания. Задача К1 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.
Таблица К1
№ условия | Углы, град | Дано | Найти | |||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ω1, 1/с | ω4, 1/с | vВ, м/с | ω звена | v точки | |
– | – | B, E | ||||||||
– | – | A ,D | ||||||||
– | – | A, E | ||||||||
– | – | D, E | ||||||||
– | – | A, B | ||||||||
– | – | A, E | ||||||||
– | – | B, E | ||||||||
– | – | A, D | ||||||||
– | – | A, E | ||||||||
– | – | B,E |
Пример К1.
Механизм (рис. К1,а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна
, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами
и
шарнирами.
Рис. К1,а |
![](images/image-198-543.png)
![](images/image-199-484.png)
![](images/image-200-529.png)
![](images/image-201-483.png)
![](images/image-202-519.png)
![](images/image-203-464.png)
![](images/image-173-539.png)
![](images/image-174-616.png)
![](images/image-175-536.png)
![](images/image-204-521.png)
![](images/image-205-469.png)
![](images/image-206-527.png)
![](images/image-207-465.png)
Определить: ,
,
,
.
Решение:
1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами и выбранным масштабом длин (рис. К1,б; на этом рисунке изображаем все векторы скоростей).
Рис. К1,б |
![](images/image-208-516.png)
![](images/image-168-620.png)
![](images/image-172-615.png)
![](images/image-208-516.png)
![](images/image-213-437.png)
![](images/image-214-497.png)
![](images/image-215-445.png)
м/с,
. (1)
Направление найдем, учтя, что точка
принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная
и направление
, воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня
) на прямую, соединяющую эти точки (прямая
). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор
(проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим
,
м/с. (2)
3. Определяем . Точка
принадлежит стержню
. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить
, надо сначала найти скорость точки
, принадлежащей одновременно стержню
. Для этого, зная
и
, строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня
. Это точка
, лежащая на пересечении перпендикуляров к
и
, восставленных из точек
и
(к
перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора
определяем направление поворота стержня
вокруг МЦС
. Вектор
перпендикулярен отрезку
, соединяющему точки
и
, и направлен в сторону поворота. Величину
найдем из пропорции:
. (3)
Чтобы вычислить и
, заметим, что
– прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30° и 60°, и что
. Тогда
является равносторонним и
. В результате равенство (3) дает
м/с,
. (4)
Так как точка принадлежит одновременно стержню
, вращающемуся вокруг
, то
. Тогда, восставляя из точек
и
перпендикуляры к скоростям
и
, построим МЦС
стержня
. По направлению вектора
определяем направление поворота стержня
вокруг центра
. Вектор
направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К2,б видно, что
, откуда
. Составив теперь пропорцию, найдем, что
,
м/с. (5)
4. Определяем . Так как МЦС стержня 2 известен (точка
) и
м, то
с–1. (6)
5. Определяем
(рис. К1,в, на котором изображаем все векторы ускорений). Точка
принадлежит стержню 1. Полное ускорение точки
разложим на тангенциальную и нормальную составляющие:
,
где численно
м/с2,
Рис. К1,в. |
![](images/image-264-401.png)
Вектор направлен вдоль
, а
– перпендикулярно
. Изображаем эти векторы на чертеже (см. рис. К1в). Вычисляем
м/с2.
Ответ: м/с,
м/с,
с–1,
м/с2.
Динамика
Задача Д1
Механическая система (рис. Д1.0 – Д1.9) состоит из грузов 1 и 2, цилиндрического сплошного однородного катка 3 и ступенчатых шкивов 4 и 5 с радиусами ступеней м,
м,
м и
м. Массу шкивов считать равномерно распределенной по внешнему ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость
.
Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.
Под действием силы , зависящей от перемещения
точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя. При движении на шкивы действуют постоянные моменты
или
сил сопротивления (от трения в подшипниках).
Рис. Д1.0 Рис. Д1.1
Рис. Д1.2 Рис. Д1.3
Рис. Д1.4 Рис. Д1.5
Рис. Д1.6 Рис. Д1.7
Рис. Д1.8 Рис. Д1.9
Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение станет равным
. Искомая величина указана в столбце «Найти» таблицы Д1, где обозначено:
,
и
– скорости грузов 1, 2 и центра масс тела 3 соответственно,
и
– угловые скорости тел 4 и 5.
Каток катится по плоскости без скольжения. На всех рисунках можно не изображать груз 2, если ; остальные тела должны изображаться и тогда, когда их масса равна нулю.
Таблица Д1
Номер условия | m1, кг | m2, кг | m3, кг | m4, кг | m5, кг | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() | ![]() | Найти |
0,8 | ![]() | ![]() | ||||||||
0,6 | 1,2 | ![]() | ![]() | |||||||
04, | 0,8 | ![]() | ![]() | |||||||
0,3 | 0,6 | ![]() | ![]() | |||||||
0,6 | 1,4 | ![]() | ![]() | |||||||
0,9 | 1,6 | ![]() | ![]() | |||||||
0,8 | ![]() | ![]() | ||||||||
0,6 | 0,8 | ![]() | ![]() | |||||||
0,3 | 1,6 | ![]() | ![]() | |||||||
0,4 | 1,4 | ![]() | ![]() |
Указания. Задача Д1 – на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы. При решении задачи учесть, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел; эту энергию нужно выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую в задаче надо определить. При вычислении
для установления зависимости между скоростями точек тела, движущегося плоскопараллельно, или между его угловой скоростью и скоростью центра масс воспользоваться мгновенным центром скоростей (кинематика). При вычислении работы надо все перемещения выразить через заданное перемещение
, учтя, что зависимость между перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями.
Пример Д1.
Рис. Д1,а |
![](images/image-318-304.png)
![](images/image-319-304.png)
![](images/image-320-291.png)
![](images/image-321-303.png)
![](images/image-322-287.png)
![](images/image-323-308.png)
![](images/image-277-333.png)
![](images/image-324-290.png)
![](images/image-325-313.png)
Дано: кг,
кг,
кг,
кг,
кг,
м,
м,
м,
,
Н/м,
,
Н,
м.
Определить: в тот момент времени, когда
.
Решение:
1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из весомых тел 1, 3, 5 и невесомых тел 2, 4, соединенных нитями. Изобразим действующие на систему внешние силы: активные ,
,
,
,
, реакции
,
,
,
, натяжение нити
, силы трения
,
и момент
.
Для определения воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:
. (1)
2. Определяем и
. Так как в начальный момент система находилась в покое, то
. Величина
равна сумме энергий всех тел системы:
. (2)
Учитывая, что тело 1 движется плоскопараллельно, тело 5 – поступательно, а тело 3 вращается вокруг неподвижной оси, получим
,
,
, (3)
Все входящие сюда скорости надо выразить через искомую . Для этого предварительно заметим, что
, где
– любая точка обода радиуса
шкива 3 и что точка
– мгновенный центр скоростей катка 1, радиус которого обозначим
. Тогда
,
. (4)
Кроме того, входящие в (3) моменты инерции имеют значения
,
. (5)
Подставив все величины (4) и (5) в равенства (3), а затем, используя равенство (2), получим окончательно
. (6)
3. Найдем сумму работ всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда центр катка 1 пройдет путь . Введя обозначения:
– перемещение груза 5 (
),
– угол поворота шкива 3,
и
– начальное и конечное удлинения пружины, получим
,
,
,
,
.
Работы остальных сил равны нулю, т.к. точки и
, где приложены силы
,
и
– мгновенные центры скоростей; точки, где приложены силы
,
и
– неподвижны; а сила
– перпендикулярна перемещению груза.
По условиям задачи, . Тогда
, где
– перемещение точки
(конца пружины). Величины
и
надо выразить через заданное перемещение
. Для этого учтем, что зависимость между перемещениями здесь такая же, как и между соответствующими скоростями. Тогда, так как
(равенство
уже отмечалось), то и
.
Из рис. Д1,б видно, что , а так как точка
является мгновенным центром скоростей для блока 2 (он как бы «катится» по участку нити
), то
; следовательно, и
. При найденных значениях
и
для суммы вычисленных работ получим
. (7)
Подставляя выражения (6) и (7) в уравнение (1) и учитывая, что , придем к равенству
. (8)
Из равенства (8), подставив в него числовые значения заданных величин, найдем искомую угловую скорость .
Ответ: с–1.
Задача Д2
Механическая система состоит из однородных ступенчатых шкивов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 3–6, прикрепленных к этим нитям, и невесомого блока (рис. Д2.0 – Д2.9, табл. Д2).
Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом , приложенной к одному из шкивов. Радиусы ступеней шкива 1 равны:
м,
м, шкива 2 –
м,
м; их радиусы инерции относительно осей вращения равны соответственно
м и
м.
Рис. Д2.0 Рис. Д2.1
Рис. Д2.2 Рис. Д2.3
Рис. Д2.4 Рис. Д2.5
Рис. Д2.6 Рис. Д2.7
Рис. Д2.8 Рис. Д2.9
Пренебрегая трением, найти ускорение тела, имеющего больший вес; веса шкивов и грузов заданы в таблице. Грузы, веса которых равны нулю, на чертеже можно не изображать (шкивы 1, 2 изображать всегда как части системы).
Таблица Д2
Номер условия | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() |
Указания. Задача Д2 – на применение к изучению движения системы уравнений Лагранжа. В задаче система имеет одну степень свободы, ее положение определяется одной обобщенной координатой и для нее должно быть составлено одно уравнение движения. В задачах, где требуется найти ускорение груза 3 (4, 5 или 6), за обобщенную координату удобно принять координату , характеризующую перемещение этого груза. Для составления уравнения Лагранжа необходимо найти кинетическую энергию
системы и выразить все входящие в нее скорости через обобщенную скорость
, а затем вычислить обобщенную силу
. Для этого надо сообщить системе возможное (малое) перемещение, при котором выбранная координата
получит приращение
, и составить уравнение работ всех сил на этом перемещении. Коэффициент при
в выражении элементарной работы и будет искомой обобщенной силой. Дальнейший ход решения задачи разъяснен в примере Д2.
Пример Д2.
Механическая система (рис. Д2) состоит из обмотанных нитями блока 1 радиуса и ступенчатого шкива 2 (радиусы ступеней
и
, радиус инерции относительно оси вращения
), и из грузов 3 и 4, прикрепленных к этим нитям. Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом
, приложенной к блоку 1.
Рис. Д.2