Задачи к контрольным заданиям

Статика

Задача С1

Конструкция состоит из жесткого угольника и стержня, которые в точке или соединены друг с другом шарнирно (рис. С1.0–С1.5), или свободно опираются друг о друга (рис. С1.6–С1.9).

 

Рис. С1.0 Рис. С1.1

 

Рис. С1.2 Рис. С1.3

 

Рис. С1.4 Рис. С1.5

 

Рис. С1.6 Рис. С1.7

 

Рис. С1.8 Рис. С1.9

Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются в точке или шарнир, или жесткая заделка; в точке или гладкая плоскость (рис. С1.0 и С1.1), или невесомый стержень (рис. С1.2 и С1.3), или шарнир (рис. С1.4– С1.9); в точке или невесомый стержень (рис. С1.0, С1.3, С1.8), или шарнирная опора на катках (рис. С1.7).

На каждую конструкцию действуют: пара сил с моментом , равномерно распределенная нагрузка интенсивности и еще две силы. Эти силы, их направления и точки приложения указаны в табл. С1; там же в столбце «Нагруженный участок» указано, на каком участке действует распределенная нагрузка (например, в условиях № 1 на конструкцию действуют сила под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная в точке , сила под углом 30° к горизонтальной оси, приложенная в точке , и нагрузка, распределенная на участке ).

Определить реакции связей в точках , , (для рис. С1.0, С1.3, С1.7, С1.8 еще и в точке ), вызванные заданными нагрузками.

При окончательных расчетах принять м. Направление распределенной нагрузки на различных по расположению участках указано в табл. С1а.

Указания. Задача С1 – на равновесие системы тел, находящихся под действием плоской системы сил. При ее решении можно или рассмотреть сначала равновесие всей системы в целом, а затем равновесие одного из тел системы, изобразив его отдельно, или же сразу расчленить систему и рассмотреть равновесие каждого из тел в отдельности, учтя при этом закон о равенстве действия и противодействия. В задачах, где имеется жесткая заделка, учесть, что ее реакция представляется силой, модуль и направление которой неизвестны, и парой сил, момент которой тоже неизвестен.

Таблица С1

Сила         Нагруженный участок
кН кН кН кН
№ условия Точка приложения α, град Точка приложения α, град Точка приложения α, град Точка приложения α, град
K – – H – – CL
– – L – – E CK
L – – K – – AE
– – K – – H CL
L – – E – – CK
– – L – – K AE
E – – K – – CL
– – H L – – CK
– – K – – E CL
H – – – – L CK

 

Таблица С1а

Участок на угольнике Участок на стержне
горизонтальный вертикальный рис. С1.0, С1.3, С1.5, С1.7, С1.8 рис. С1.1, С1.2, С1.4, С1.6, С1.9
         

Пример С1.

На угольник ( ), конец которого жестко заделан, в точке опирается стержень (рис. С1,а). Стержень имеет в точке неподвижную шарнирную опору и к нему приложена сила , а к угольнику – равномерно распределенная на участке нагрузка интенсивности и пара с моментом .

 

Рис. С1

 

Дано: кН, , , м.

Определить: реакции в точках , , .

Решение:

1. Для определения реакций расчленим систему и рассмотрим сначала равновесие стержня (рис. С1,б). Проведем координатные оси и изобразим действующие на стержень силы: силу , реакцию , направленную перпендикулярно стержню, и составляющие и реакции шарнира . Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия:

(1)

(2)

(3)

2. Теперь рассмотрим равновесие угольника (рис. С1,в). На него действуют сила давления стержня , направленная противоположно реакции , равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем силой , приложенной в середине участка (численно кН), пара сил с моментом и реакция жесткой заделки, слагающаяся из силы, которую представим составляющими и , и пары с моментом . Для этой плоской системы сил тоже составляем три уравнения равновесия:

(4)

(5)

. (6)

При вычислении момента силы разлагаем ее на составляющие и и применяем теорему Вариньона. Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив систему уравнений (1)–(6), найдем искомые реакции. При решении учитываем, что в силу равенства действия и противодействия.

Ответ: кН, кН, кН, кН, кН, . Знаки «–» указывают, что силы , и момент направлены противоположно показанным на рисунках.

Кинематика

Задача К1

Плоский механизм (рис. К1.0 – К1.9) состоит из стержней 1–4 и ползуна , соединенных друг с другом и с неподвижными опорами и шарнирами. Точка находится в середине стержня . Длины стержней равны соответственно м, м, м, м. Положение механизма определяется углами . Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К2. Точка на всех рисунках и точка на рис. К1.7 – К1.9 в середине соответствующего стержня. Угловое ускорение стержня 1 с-1.

 

Рис. К1.0 Рис. К1.1

 

Рис. К1.2 Рис. К1.3

Рис. К1.4 Рис. К1.5

 

Рис. К1.6 Рис. К1.7

 

Рис. К1.8 Рис. К1.9

 

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол на рис. К1.8 отложить от против хода часовой стрелки, а на рис. К1.9 – по ходу часовой стрелки и т.д.).

Определить ускорение точки звена 1 и величины, указанные в таблице в столбце «Найти».

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом ; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К1 (см. рис. К1б).

Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против часовой стрелки, а заданную скорость – от точки к (на рис. К1.5 – К1.9).

Указания. Задача К1 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.

 

Таблица К1

№ условия Углы, град Дано Найти
ω1, 1/с ω4, 1/с vВ, м/с ω звена v точки
– – B, E
– – A ,D
– – A, E
– – D, E
– – A, B
– – A, E
– – B, E
– – A, D
– – A, E
– – B,E

Пример К1.

Механизм (рис. К1,а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна , соединенных друг с другом и с неподвижными опорами и шарнирами.

Рис. К1,а
Дано: , , , , , , м, м, м, с-1, с-2 (направления и – против хода часовой стрелки).

Определить: , , , .

Решение:

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами и выбранным масштабом длин (рис. К1,б; на этом рисунке изображаем все векторы скоростей).

Рис. К1,б
2. Определяем . Точка принадлежит стержню . Чтобы найти , надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление . По данным задачи, учитывая направление , можем определить . Численно:

м/с, . (1)

Направление найдем, учтя, что точка принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

, м/с. (2)

3. Определяем . Точка принадлежит стержню . Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки , принадлежащей одновременно стержню . Для этого, зная и , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня . Это точка , лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восставленных из точек и (к перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора определяем направление поворота стержня вокруг МЦС . Вектор перпендикулярен отрезку , соединяющему точки и , и направлен в сторону поворота. Величину найдем из пропорции:

. (3)

Чтобы вычислить и , заметим, что – прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30° и 60°, и что . Тогда является равносторонним и . В результате равенство (3) дает

м/с, . (4)

Так как точка принадлежит одновременно стержню , вращающемуся вокруг , то . Тогда, восставляя из точек и перпендикуляры к скоростям и , построим МЦС стержня . По направлению вектора определяем направление поворота стержня вокруг центра . Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К2,б видно, что , откуда . Составив теперь пропорцию, найдем, что

, м/с. (5)

4. Определяем . Так как МЦС стержня 2 известен (точка ) и м, то

с–1. (6)

5. Определяем (рис. К1,в, на котором изображаем все векторы ускорений). Точка принадлежит стержню 1. Полное ускорение точки разложим на тангенциальную и нормальную составляющие:

,

где численно

м/с2,

Рис. К1,в.
м/с2.

 

Вектор направлен вдоль , а – перпендикулярно . Изображаем эти векторы на чертеже (см. рис. К1в). Вычисляем

м/с2.

Ответ: м/с, м/с, с–1, м/с2.

Динамика

Задача Д1

Механическая система (рис. Д1.0 – Д1.9) состоит из грузов 1 и 2, цилиндрического сплошного однородного катка 3 и ступенчатых шкивов 4 и 5 с радиусами ступеней м, м, м и м. Массу шкивов считать равномерно распределенной по внешнему ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость .

Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.

Под действием силы , зависящей от перемещения точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя. При движении на шкивы действуют постоянные моменты или сил сопротивления (от трения в подшипниках).

 

Рис. Д1.0 Рис. Д1.1

 

 

Рис. Д1.2 Рис. Д1.3

 

 

 

Рис. Д1.4 Рис. Д1.5

 

 

 

Рис. Д1.6 Рис. Д1.7

 

 

 

Рис. Д1.8 Рис. Д1.9

Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение станет равным . Искомая величина указана в столбце «Найти» таблицы Д1, где обозначено: , и – скорости грузов 1, 2 и центра масс тела 3 соответственно, и – угловые скорости тел 4 и 5.

Каток катится по плоскости без скольжения. На всех рисунках можно не изображать груз 2, если ; остальные тела должны изображаться и тогда, когда их масса равна нулю.

Таблица Д1

Номер условия m1, кг m2, кг m3, кг m4, кг m5, кг , , , м , Н Найти
0,8
0,6 1,2
04, 0,8
0,3 0,6
0,6 1,4
0,9 1,6
0,8
0,6 0,8
0,3 1,6
0,4 1,4

 

Указания. Задача Д1 – на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы. При решении задачи учесть, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел; эту энергию нужно выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую в задаче надо определить. При вычислении для установления зависимости между скоростями точек тела, движущегося плоскопараллельно, или между его угловой скоростью и скоростью центра масс воспользоваться мгновенным центром скоростей (кинематика). При вычислении работы надо все перемещения выразить через заданное перемещение , учтя, что зависимость между перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями.

Пример Д1.

Рис. Д1,а
Механическая система (рис. Д1,а) состоит из сплошного однородного цилиндрического катка 1, подвижного блока 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней и и радиусом инерции относительно оси вращения , блока 4 и груза 5 (коэффициент трения груза о плоскость равен ). Тела системы соединены нитями, намотанными на шкив 3. К центру блока 2 прикреплена пружина с коэффициентом жесткости ; ее начальная деформация равна нулю. Система приходит в движение из состояния покоя под действием силы , зависящей от перемещения точки ее приложения. На шкив 3 при движении действует постоянный момент сил сопротивления.

Дано: кг, кг, кг, кг, кг, м, м, м, , Н/м, , Н, м.

Определить: в тот момент времени, когда .

Решение:

1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из весомых тел 1, 3, 5 и невесомых тел 2, 4, соединенных нитями. Изобразим действующие на систему внешние силы: активные , , , , , реакции , , , , натяжение нити , силы трения , и момент .

Для определения воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

. (1)

2. Определяем и . Так как в начальный момент система находилась в покое, то . Величина равна сумме энергий всех тел системы:

. (2)

Учитывая, что тело 1 движется плоскопараллельно, тело 5 – поступательно, а тело 3 вращается вокруг неподвижной оси, получим

,

,

, (3)

Все входящие сюда скорости надо выразить через искомую . Для этого предварительно заметим, что , где – любая точка обода радиуса шкива 3 и что точка – мгновенный центр скоростей катка 1, радиус которого обозначим . Тогда

, . (4)

Кроме того, входящие в (3) моменты инерции имеют значения

, . (5)

Подставив все величины (4) и (5) в равенства (3), а затем, используя равенство (2), получим окончательно

. (6)

3. Найдем сумму работ всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда центр катка 1 пройдет путь . Введя обозначения: – перемещение груза 5 ( ), – угол поворота шкива 3, и – начальное и конечное удлинения пружины, получим

,

,

,

,

.

Работы остальных сил равны нулю, т.к. точки и , где приложены силы , и – мгновенные центры скоростей; точки, где приложены силы , и – неподвижны; а сила – перпендикулярна перемещению груза.

По условиям задачи, . Тогда , где – перемещение точки (конца пружины). Величины и надо выразить через заданное перемещение . Для этого учтем, что зависимость между перемещениями здесь такая же, как и между соответствующими скоростями. Тогда, так как (равенство уже отмечалось), то и .

Из рис. Д1,б видно, что , а так как точка является мгновенным центром скоростей для блока 2 (он как бы «катится» по участку нити ), то ; следовательно, и . При найденных значениях и для суммы вычисленных работ получим

. (7)

Подставляя выражения (6) и (7) в уравнение (1) и учитывая, что , придем к равенству

. (8)

Из равенства (8), подставив в него числовые значения заданных величин, найдем искомую угловую скорость .

Ответ: с–1.

Задача Д2

Механическая система состоит из однородных ступенчатых шкивов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 3–6, прикрепленных к этим нитям, и невесомого блока (рис. Д2.0 – Д2.9, табл. Д2).

Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом , приложенной к одному из шкивов. Радиусы ступеней шкива 1 равны: м, м, шкива 2 – м, м; их радиусы инерции относительно осей вращения равны соответственно м и м.

 

Рис. Д2.0 Рис. Д2.1

 

Рис. Д2.2 Рис. Д2.3

 

Рис. Д2.4 Рис. Д2.5

 

Рис. Д2.6 Рис. Д2.7

 

Рис. Д2.8 Рис. Д2.9

 

Пренебрегая трением, найти ускорение тела, имеющего больший вес; веса шкивов и грузов заданы в таблице. Грузы, веса которых равны нулю, на чертеже можно не изображать (шкивы 1, 2 изображать всегда как части системы).

Таблица Д2

Номер условия ,

 

Указания. Задача Д2 – на применение к изучению движения системы уравнений Лагранжа. В задаче система имеет одну степень свободы, ее положение определяется одной обобщенной координатой и для нее должно быть составлено одно уравнение движения. В задачах, где требуется найти ускорение груза 3 (4, 5 или 6), за обобщенную координату удобно принять координату , характеризующую перемещение этого груза. Для составления уравнения Лагранжа необходимо найти кинетическую энергию системы и выразить все входящие в нее скорости через обобщенную скорость , а затем вычислить обобщенную силу . Для этого надо сообщить системе возможное (малое) перемещение, при котором выбранная координата получит приращение , и составить уравнение работ всех сил на этом перемещении. Коэффициент при в выражении элементарной работы и будет искомой обобщенной силой. Дальнейший ход решения задачи разъяснен в примере Д2.

Пример Д2.

Механическая система (рис. Д2) состоит из обмотанных нитями блока 1 радиуса и ступенчатого шкива 2 (радиусы ступеней и , радиус инерции относительно оси вращения ), и из грузов 3 и 4, прикрепленных к этим нитям. Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом , приложенной к блоку 1.

 

 

Рис. Д.2