Решение уравнений методом введения новой переменной
Суть метода поясним на примере.
П р и м е р: Решить уравнение .
Р е ш е н и е. Положим , получим уравнение
, откуда находим
. Задача сводится к решению совокупности уравнений
Û
Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так его дискриминант отрицателен. Из второго находим . Это корни заданного уравнения.
Биквадратным называется уравнение вида , где а ¹ 0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив
, придем к квадратному уравнению
.
Иррациональные уравнения.
Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня или под знаком возведения в дробную степень. Одним из методов решения таких уравнений является метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень:
А) преобразуем заданное иррациональное уравнение к виду:
;
Б) возводим обе части полученного уравнения в n - ую степень:
;
В) учитывая, что , получаем уравнение
f(x) = g(x);
Г) решаем уравнение и делаем проверку, так как возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести к появлению посторонних корней. Эта проверка осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.
Пример . Решить уравнение
Решение.
Возведем обе части уравнения в квадрат.
x2 - 3 = 1;
Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных слагаемых.
x2 = 4;
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня -2 и 2.
Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.
Проверка.
При x1 = -2 - истинно:
При x2 = -2 - истинно.
Отсюда следует, что исходное иррациональное уравнение имеет два корня -2 и 2.
Пример . Решить уравнение .
Это уравнение можно решить по такой же методике как и в первом примере, но мы поступим иначе.
Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполнятся два условия:
а) x - 9 0;
x 9;
б) 1 - x 0;
-x -1 ;
x 1.
ОДЗ данного уранения: x
.
Ответ: корней нет.
Виды неравенств
Пример:Решить неравенство
Решение.
Частное двух чисел положительно в том случае, когда и делимое, и делитель положительны, или они отрицательны. Опираясь на это утверждение составим совокупность двух систем неравенств.
Сначала решим систему неравенств
Первая система равносильна неравенству х > 1.
Теперь, решаем систему неравенств:
Вторая система равносильна неравенству x < -1.
Ответ: x >1 и x < -1.
Пример:Решить неравенство (1). .
Решение. Вычтем из обеих частей неравенства функцию получим неравенство 3х > 9.
Разделим обе части полученного неравенства на положительное число 3 в результате получим x > 3 (2). Выполнив это преобразование, мы заменили неравенство (1) неравенством (2). Эти неравенства не равносильны.(1) (2).
M = (- ; 8)
(8; +
)- ОДЗ неравенства (1).
B = (3; + ) - это решение неравенства (2).
Найдем множество решений неравенства (1)
A = B M =((-
; 8)
(8; +
)
(3; +
) = (3; 8)
(8; +
),
Ответ: x (3; 8)
(8; +
).
Метод интервалов
Пример :Решить неравенство.
Решение.
ОДЗ: откуда имеем x
[-1; 5)
(5; +
)
Решим уравнение Числитель дроби равен 0 при x = -1, это и есть корень уравнения. Отметим найденный корень на чертеже (черным кружком, т.к. неравенство нестрогое), предварительно отметив ОДЗ:
Чтобы определить знак на промежутке (-1; 5) возьмем число 0, Чтобы определить знак на втором промежутке возьмем число 8,
Точки 0 и 8 выбирались произвольно, но так, чтобы упростить процесс вычисления каждого значения функции.
Ответ: (-5; + ).
Пример:Решить неравенство
Решение.
Используя свойство частного и определение квадратного корня делаем вывод, что откуда
ОДЗ: x
(0; 1)
(1; 7)
(7; +
)
Решим уравнение
x = 1.
На промежутке (0;1) возьмем точку 0,5;
На промежутке (1; 7) возьмем точку 4,
На промежутке (7; + ) возьмем точку 9,
Расставим знаки на координатной прямой.
Таким образом, решением данного неравенства является множество чисел принадлежащих промежутку (0; 1) (1; 7)
Пример:Решить неравенство (2x - 6)(3x + 12)(5x + 1)<0.
Решение.
Нули функции: - 4; - 0,2; 3.
Функция в левой части неравенства представляет собой произведение не повторяющихся множителей, значит знаки этой функции чередуются cправа на лево с "+" на "-" ....
Решение данного неравенства x (-
; -4)
(-0,2; 3).
Пример:Решить неравенство
7 - x.Введем вспогательную переменную. Пусть t =
, где t
0, (из определения квадратного корня)
тогда t2 = x + 5; откуда x = t2 - 5 и имеем неравенство t 7 - t2 + 5;
t2 + t - 12 0;
ОДЗ: t R.
t2 + t - 12 = 0;
t1 = -4; t2 = 3.
f(t) = t2 + t - 12; эта функция непрерывна на всей области определения. Формулу, задающую функцию, удобнее записать так f(x) = (x - 3)(x + 4).
f(4) =4 2 + 4 - 12 = 8 >0;
Таким образом, функция f(t) = t2 + t - 12 принимает значения небольшие 0, если -4 t
3. Так как t
0, то 0
t
4. Осуществим обратный переход к переменной x, тогда
0
3. Так как все части неравенства неотрицательны, то возведем их в квадрат 0
x + 5
9, откуда -5
x
4 и, следовательно,
x [-5; 3].
Ответ: x [-5; 3].
Пример:Решить неравенство 2x2 - 8x + 6 > .
Решение.
В левой части неравества вынесем 2 за скобки 3(x2 - 4x + 3) > и введем вспомогательную переменную.
Пусть t = , тогда t > 0 и 2t2 > t; 2t2 - t > 0; t(2t -1) > 0.
В левой части неравенства задана квадратная функция, в которой старший коэффициент равен 1, а нули 0 и 0,5. Из свойств этой функции следует:
Таким образом неравенство 2t2 > t равносильно неравенству t > 0,5.
Выполняем обратную замену переменных.
> 0,5, где x < 1 или x > 3.
x2 - 4x + 3 > 0,25;
4x2 - 16x + 11 > 0;
D/4 = 64 - 44 = 20, D > 0.
x1 = , x2 =
Нетрудно установить, что 0,5 < < 1 и 3 <
< 3,5.
Таким образом решением исходного неравенства является следующее множество x (-
;
)
(
; +
).
Ответ: (- ;
)
(
; +
).
Пример:Решить неравенство 2sin2x - 3sinx - 2 < 0.
Решение.
Пусть sinx = t, где t [-1; 1] (1), тогда получим квадратное неравенство
2t2 - 3t - 2 < 0.
Для его решения будем использовать свойства квадратной функции.
1) Её старший коэффициент равен 2.
2) D = 32 - 4 2(-2) = 9 + 16 = 25, следовательно, D > 0.
3) t1 = -0,5; t2 = 2, поэтому решением неравенства является множество чисел
t (-
; - 0,5)
(2; +
) (2).
Пересечение множеств (1) и (2) есть множество [-1; -0,5).
Произведем обратный переход к переменной х, получим неравенство.
-1 sinx < -0,5. Для решения этого двойного неравенства воспользуемся свойствами функции y = sinx.
<="" p="">
x (-
+ 2
k; -
+ 2
k), где k
Z.
Ответ: x (-
+ 2
k; -
+ 2
k), где k
Z.
Пример:Решить неравенство 3 > lg(
) + 2.
Решение.
Так как -х > 0 при x < 0 и = |x|, где |x| = -x при указанных выще условиях, то заданное неравенство, при x < 0, можно заменить равносильным ему неравенством 3
> lg(-x) + 2. Пусть t =
, получим квадратное неравенство t2 - 3t + 4 < 0.
1) Старший коээфициент квадратного трехчлена положителен.
2) Корни квадратного трехчлена: t1 = 1, t2 = 2.
3) Квадратный тречлен принимает отрицательные значения при 1 < t < 2.
Получаем неравенство 1 < < 2. Все три части неравенства положительны, возведем их в квадрат.
1 < lg(-x) < 4;
-1000 < x < -10.
Ответ: (-10000; -10).