ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
РАЗДЕЛ I
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Задание 1
Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде ψ(х,у) = С).
Решение
Разделяя переменные в уравнении, имеем: 
Интегрируя обе части уравнения, получаем:
откуда 
или 
Ответ:
Задание 2
Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
Решение
Разделим обе части уравнения на х. Имеем:
Введем замену: y = t∙x, тогда y' = t'∙x + t. Имеем
Разделяя переменные, получим
Интегрируя обе части уравнения, получаем:
откуда 
или, после потенцирования,
Возвращаясь к замене, окончательно получаем: 2∙С∙х4= у3+ 3∙у∙х2
Ответ:2∙С∙х4= у3+ 3∙у∙х2
Задание 3
Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
Решение
Найдем точку пересечения прямых х + 2∙у - 3 = 0 и 4∙х - у - 3 = 0. Решая совместно эти два уравнения, находим: х = 1, у = 1.
Введем замены: y = v + 1, x = u + 1. Тогда dy = dv, dx = du. Имеем
или 
Введем еще одну замену: v = t∙u, тогда v' = t'∙u + t. Имеем:
Разделяя переменные, получим: 
Интегрируя обе части уравнения, получаем:
откуда 
или, после потенцирования,
.
Возвращаясь к заменам, окончательно получаем: 
.
Ответ: .
Задание 4
Найти решение задачи Коши 
, 
Решение
Пусть 
, тогда 
. Имеем:
или
.
Пусть 
тогда 
.
Решим эти уравнения
Подставим найденное значение в уравнение :
.
Возвращаясь к замене, окончательно получаем:
.
При х = 0 , 
, т.е 
Ответ: .
Задание 5
Найти решение задачи Коши
, 
Решение
Примем у за независимую переменную, а х(у) - за функцию переменной у. Тогда по правилу нахождения производной обратной функции: 
. Имеем:
или
.
Пусть 
, тогда 
. Имеем:
или
.
Пусть 
тогда 
.
Решим эти уравнения
Подставим найденное значение в уравнение
:
.
Возвращаясь к замене, окончательно получаем:
.
При 
, 
т.е 
, а 
Ответ: .
Задание 6
Найти решение задачи Коши: 
, y(0) = -1
Решение
Пусть 
, тогда 
, а 
. Имеем: 
. Умножим обе части уравнения на 
, получим:
или 
(1).
Решим однородное уравнение: 
. Имеем: 
, откуда после интегрирования: 
получаем 
(2), где С(х) - неизвестная функция от х.
Подставляя (2) в (1), получаем:
или
. Интегрируя обе части уравнения, получаем:
или
, откуда 
. Подставляя полученное выражение в (2) получаем: 
.
Возвращаясь к замене, получаем: 
.
При х = 0 , 
, откуда 
. Т.е.
.
Ответ: .
Задание 7
Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
Решение
Преобразуем данное уравнение. Имеем:
Введем замену: y = t∙x, тогда y' = t'∙x + t. Имеем
Разделяя переменные, получим
Интегрируя обе части уравнения, получаем:
откуда 
или, после потенцирования,
Возвращаясь к замене, окончательно получаем: 
Ответ: .
Задание 8
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение
Данное дифференциальное уравнениедопускает понижение порядка, поэтому принимаем y'' = t, тогда y''' = t'. Имеем: 
. Разделяя переменные и интегрируя, получаем:
откуда 
или
.
Возвращаясь к замене, получаем:
,
Ответ: 
Задание 9
Найти решение задачи Коши: 
у(2) = 1, y'(2) = 6
Решение
Данное дифференциальное уравнениене содержит явно переменную х. Введем замену: y'(x) = t(y), тогда 
. Имеем:
. Разделяя переменные и интегрируя, получаем:
или 
. При х = 2, у = 1, 
, откуда С1= 0. Т.е. 
Возвращаясь к замене, получаем: 
.
Разделяем переменные и интегрируем: 
, откуда 
. При х = 2, 
, откуда С2= -13. Таким образом: 
.
Ответ: .
Задание 10
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение
Данному неоднородному уравнению четвертого порядка соответствует однородное уравнение 
. Его характеристическое уравнение: 
, корни которого
k1,2= 0, k3,4= -1. Поэтому, общее решение однородного уравнения имеет вид: 
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
. Имеем:
; 
;
; yIV1= 24A.
Подставляя найденные значения в исходное уравнение, получаем:
, 
, C = 12.
Общее решение данного уравнения имеет вид:
.
Ответ: 
Задание 11
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение
Данному неоднородному уравнению третьего порядка соответствует однородное уравнение 
. Его характеристическое уравнение: 
, корни которого k1,2= -1, k3= 2. Поэтому, общее решение однородного уравнения имеет вид: 
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
. Имеем:
;
;
.
Подставляя найденные значения в исходное уравнение, получаем: A = 0; B = 1; C = 0.
Общее решение данного уравнения имеет вид:
.
Ответ: .
Задание 12
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение
Данному неоднородному уравнению второго порядка соответствует однородное уравнение y'' + y = 0. Его характеристическое уравнение: k2 + 1 = 0, корни которого k1= -i, k2= i. Поэтому, общее решение однородного уравнения имеет вид: 
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
. Имеем:
; 
.
Подставляя найденные значения в исходное уравнение, получаем: 
, 
.
Общее решение данного уравнения имеет вид:
.
Ответ: .
Задание 13
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение
Данному неоднородному уравнению второго порядка соответствует однородное уравнение y'' - 5y' = 0. Его характеристическое уравнение:
k2 - 5k = 0, корни которого k1 = 0, k2= 5. Поэтому, общее решение однородного уравнения имеет вид: 
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
. Имеем:
;
.
Подставляя найденные значения в исходное уравнение, получаем: A = 5, B = 0, C = 5, D = -1.
Общее решение данного уравнения имеет вид:
.
Ответ: .
Задание 14
Найти решение задачи Коши:
y(0) = 1 + 3ln(3), y'(0) = 10ln(3)
Решение
Данному неоднородному уравнению второго порядка соответствует однородное уравнение 
. Его характеристическое уравнение: 
, корни которого k1 = 2, k2= 4. Поэтому, общее решение однородного уравнения имеет вид: 
.
Запишем данное решение в виде: 
. Найдем производные:
, 
.
Составляем систему:
Определитель системы: 
Таким образом 
.
Решим задачу Коши, для чего сперва найдем производную:
.
При х = 0, у = С1+ С2+ 3ln(3) - 1 = 1 + 3ln(3),
y' = 10ln(3) + 2C1+ 4C2- 2 = 10ln(3).
Имеем: С1+ С2= 2, 2C1+ 4C2= 2, откуда С1= 3, С2= -1. Таким образом:
.
Ответ: .
РАЗДЕЛ II
ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Задание 1
Написать пять первых членов ряда. Проверить для данного ряда выполнение необходимого признака сходимости. 
Решение
Для числового ряда 
необходимый признак записывается в виде: 
.
Применяя данный признак к нашему ряду, получаем: 
, т.е. признак выполняется.
Ответ: признак выполняется.
Задание 2
Исследовать ряд на сходимость с помощью признака сравнения: 
Решение
Для сравнения возьмем ряд 
. Этот ряд сходится, как ряд геометрической прогрессии со знаменателем 
. В связи с тем, что 
для х є (-∞;∞), приходим к выводу, что сходится для х є (-∞;∞).
Ответ: ряд сходится.
Задание 3
Исследовать ряд на сходимость с помощью признака Даламбера: 
Решение
Согласно признаку Даламбера, если существует 
, то
при ρ < 1 ряд сходится, при ρ > 1 ряд расходится, при ρ = 1 ряд может сходиться или расходиться. Имеем:
, 
. Тогда 
.
То есть, согласно признаку, ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
Задание 4
Исследовать ряд на сходимость с помощью интегрального (Коши-Маклорена) признака:
Решение
Согласно интегральному признаку, если:
1) члены ряда составляют монотонную невозрастающую последовательность
;
2) можно построить монотонную невозрастающую функцию y = f(x) такую, что
f(0) = a0; f(1) = a1; ...; f(n) = an; ...,
то если 
сходится, тогда заданный ряд также сходится. Если же интеграл расходится, то и ряд расходится.
Члены нашего ряда составляют монотонную последовательность
Следовательно, функцией f(x) будет 
; 
. 
.
То есть, согласно признаку, ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
Задание 5
Записать общий член ряда: 
Решение
Данный ряд является знакочередующимся. Поскольку в числителе стоит порядковый номер члена ряда, а в знаменателе порядковый номер является показателем степени числа 2, то общий член ряда имеет вид: 
.
Ответ: .
Задание 6
Определить область сходимости функционального ряда: 
Решение
Построим ряд 
. Для определения области сходимости последнего ряда воспользуемся признаком Даламбера:
.
Ряд сходится, если 
или -1 < x < 1, а значит и исходный ряд сходится абсолютно для х є (-1;1).
Ответ:(-1;1).
Задание 7
Разложить f(x) в ряд Тейлора по степеням разности х - х0, пользуясь определением ряда Тейлора. 
, x0= 4.
Решение
Выражение 
называется рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки x0. Найдем значения членов ряда:
; 
; 
. Имеем:
Задание 8
Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда (четыре ненулевых члена). 
, y(0) = 0
Решение
Решение данного дифференциального уравнения будем искать в виде ряда Маклорена:
.
Имеем: 
;
, 
;
, 
;
, 
.
Итак, четыре первых разложения имеют вид: 
Ответ:
Задание 9
Найти неопределенный интеграл 
Решение
Поскольку интегралы от функций 
и 
не выражаются через элементарные функции, будем искать выражение данного интеграла через степенные ряды. Для этого разложим sin(x) и cos(x) в ряд Маклорена. Имеем:
,
.
=
= 
Таким образом:
=
= 
РАЗДЕЛ III