Гидродинамический и тепловой пограничные слои
![]() |
Как известно, в результате действия сил вязкости у твердой поверхности образуется тонкий слой заторможенной жидкости (гидродинамический пограничный слой), в пределах которого скорость изменяется от 0 до скорости невозмущенного потока w0 (рис. 7.16). Внутри пограничного слоя и
, за пределами этого слоя
и
.
Толщину пограничного слоя можно представить как расстояние от поверхности, на котором скорость будет отличаться от скорости потока вдали от границы на определенную, заранее заданную малую величину
:
при
.
Во внешнем потоке преобладают силы инерции, в пограничном слое силы инерции и вязкости соизмеримы. Тогда система дифференциальных уравнений, описывающих стационарное поле скоростей при омывании плоской пластины, бесконечной в направлении оси z, будет иметь вид:
; (7.135)
, (7.136)
а уравнение сплошности
. (7.137)
Ввиду малой толщины пограничного слоя можно принять . Кроме того, если принять, что во внешнем потоке w0 = const, то из уравнения Бернулли
следует, что во внешнем потоке давление не изменяется, т.е.
.
Так как для пограничного слоя , а во внешнем потоке
, то внутри пограничного слоя в рассматриваемом случае
также равно нулю.
Для оценки порядка величин членов дифференциальных уравнений(7.135)–(7.137) выбраны масштабы предельной координаты l, порядок которой обозначен через o , и поперечной координаты у, порядок которой . Порядок величины wx оценивается как wo. Тогда
.
Согласно уравнению сплошности (7.137), порядок производных и
одинаков, отсюда
.
Порядок величины wy можно оценить как
.
Оценка отдельных членов инерционной (конвективной) и вязкостных частей уравнений движения в проекциях на ось х приводит к выражениям:
;
;
;
.
Из этой оценки следует, что порядок отдельных слагаемых инерционной части одинаков и равен .
Отношение вязкостных членов дает:
.
Для пограничного слоя , отсюда
.
Следовательно, последней производной можно пренебречь. Тогда уравнение движения в проекциях на ось х может быть записано в следующем виде:
. (7.138)
Порядок левой части этого уравнения равен , правой –
, приравнивая их, получим
или
, (7.139)
где – число Рейнольдса, характеризующее соотношения сил инерции и сил вязкости.
Если Re<<1, то , т.е.
. В этом случае нет разделения потока на две области, все пространство жидкости у тела охвачено действием сил вязкости.
Если Re >>1, то , т.е. у поверхности тела образуется сравнительно тонкий слой подторможенной жидкости.
Таким образом, теория пограничного слоя приобретает характер метода упрощения математической формулировки краевой задачи и связанной с этим возможности решения.
Аналогичная оценка порядка величин, входящих в уравнение движения в проекциях на ось у, показывает, что члены этого уравнения малы и поэтому для пограничного слоя оно может быть опущено. Тогда для плоского безградиентного стационарного течения вязкой жидкости в пограничном слое у плоской поверхности
; (7.140)
. (7.141)
Внутри теплового пограничного слоя , а на внешней границе и вне его
и t = t0 (рис. 7.17).
Толщины гидродинамического (d) и теплового ( ) пограничных слоев, как уже указывалось ранее, в общем случае не совпадают, что зависит от рода жидкости и некоторых параметров процесса течения и теплообмена. Можно предположить, что они одного порядка: k = 0(d). В связи с малой толщиной kтеплового пограничного слоя можно пренебречь теплопроводностью вдоль него по сравнению с поперечным переносом теплоты, т.е. принять, что
![]() |
(
,т.к.
).
Тогда уравнение энергии принимает вид
. (7.142)
Однако следует отметить, что система полученных дифференциальных уравнений (7.140)–(7.142) описывает теплообмен только в ламинарном пограничном слое. Турбулентное течение существенно отличается от ламинарного (см. рис. 7.10). Произведя некоторые преобразования и выдвинув дополнительные гипотезы, можно получить систему дифференциальных уравнений, описывающих в первом приближении осредненное турбулентное течение и теплообмен, но в достаточно строгой постановке этот вопрос до конца не разрешен.
![]() |
При рассмотрении качественной стороны явления переноса энергии в турбулентном потоке можно выделить условную контрольную поверхность А–А, расположенную параллельно плоскости X–Z (рис. 7.18).
В любой фиксированной точке В, расположенной вблизи поверхности А-А, в некоторый момент времени скорость турбулентного потока имеет компоненты wx и wy. Температура жидкости в этой точке равна t. За время
в направлении оси у через единицу контрольной поверхности проходит масса жидкости
(кг/м2), а относительно оси х – количество движения
и соответственно энтальпия
. В следующий момент времени компоненты скорости могут быть другими. Среднеинтегральное значения параметров потока могут быть определены на основе следующих свойств среднеинтегрального осреднения меняющихся во времени величин
и
:
;
;
;
.
Осредняя , получим
.
Отсюда . Однако
, что следует из уравнения
.
Таким образом, среднеинтегральное значение плотности теплового потока qу (Дж/м2·с), переносимого в направлении оси у за единицу времени через единицу контрольной поверхности, будет
. (7.143)
Величину можно представить в виде
(7.144)
Среднеинтегральное значение количества движения относительно оси х, переносимое в направлении оси уза единицу времени через единицу поверхности, можно получить аналогично:
. (7.145)
Итак, конвективный перенос тепла и импульса складывается из осредненного и пульсационного (турбулентного) переноса qт и sт .
;
.
В общем случае qт и sт не равны нулю; в определенных областях турбулентного потока, омывающего твердое тело, qт и sт могут принимать большие значения.
Рассмотрим течение около стенки на некотором удалении от нее, при этом осредненные значения скорости и температуры изменяются только в направлении оси у (рис. 7.19).
![]() |
Предположим, что за счет пульсаций из слоя у1 в слой у2 переносится энтальпия сpt(y1), где t(y1) – осредненное значение температуры при у = у1. Плоскости у1 и у2 параллельны плоскости xz.Разность энтальпийср[t(y1) – t(y2)] равна переносимой теплоте на расстоянии
. На длине
пульсация не распадается, не диссипирует. Распад пульсационного движения при у = у2 приводит к передаче энтальпии слою у2 и пульсации температуры
(так как
фиксирована). Параметр
называют длиной пути смешения, эта величина не является постоянной в турбулентном движении.
Разность можно представить следующим образом, используя разложение в ряд :
Тогда для пульсационного переноса теплоты можно записать:
. (7.147)
Аналогично для переноса количества движения
. (7.148)
Таким образом, величины qти sт пропорциональны производным и
. Учитывая это, последние уравнения могут быть записаны как определения в виде:
; (7.149)
, (7.150)
где и
– коэффициенты турбулентного переноса теплоты и количества движения соответственно;
,
– кинематические коэффициенты переноса теплоты и количества движения.
Коэффициенты и
не являются физическими параметрами среды, а зависят от параметров процесса.
Теплота и количество движения в направлении оси у переносятся также и молекулярным механизмом. В результате
; (7.151)
.
На стенке: у = 0, ,
,
. Вдали от стенки: –
и
. Таким образом, при записи уравнений в осредненных значениях скорости и температуры следует учитывать и турбулентный (пульсационный) перенос теплоты и количества движения.
Для турбулентного пограничного слоя при принятых ранее ограничениях уравнения энергии (7.142), движения (7.140) и сплошности (7.141) могут быть записаны в следующем виде:
; (7.152)
; (7.153)
. (7.154)
Полагают, что и
зависят от тех же факторов (переменных), от которых зависят поля осредненных скорости и температуры. Для замыкания системы дифференциальных уравнений (7.152)–(7.154) необходимо добавить уравнения, характеризующие связь
и
с этими переменными.
Предложено много способов, позволяющих в первом приближении замкнуть эту систему дифференциальных уравнений. Ниже приводится один из наиболее простых.
Ранее было показано, что
, или
.
Пульсационная скорость . Примем
.
Тогда .
Введя коэффициент пропорциональности l, получим
. (7.155)
Величина l – длина пути смешения, пропорциональная ; иногда ее называют масштабом турбулентности.
При фиксированном значении касательное напряжение турбулентного трения sт пропорционально l2.
Сравнивая уравнения (7.148) и (7.155), получим
. (7.156)
С учетом последнего выражения уравнение (7.147) может быть представлено в виде
. (7.157)
Последние выражения были предложены Л. Прандтлем. Согласно им в представленной области масштаб турбулентности (как и турбулентный перенос количества движения и теплоты) должен уменьшаться по мере приближения к стенке:
,
где .
Таким образом, в первом приближении задача замкнута, значения и
(или
и
) определены:
. (7.158)
Равенство (7.158) показывает, что существует аналогия между переносом количества движения и переносом теплоты, т.е. одни и те же объемы жидкости, участвуя в пульсационном движении, переносят одновременно количество движения и теплоту и не взаимодействуют на пути с окружающей средой. В действительности пульсационный перенос может сопровождаться теплообменом, может быть связан с диссипацией механической энергии из-за вязкости жидкости. Это заставляет вносить коррективы и вводить для описания переноса количества движения и теплоты различные значения l.
Несмотря на незавершенность описанной теории турбулентного пограничного слоя, она может быть использована для решения ряда практических задач.
Так, полученные выводы позволили решить задачу о профиле скоростей в пристенной области и ядре потока.
Для пристенной области профиль осредненной скорости является функцией следующих переменных:
,
где s0 – касательное напряжение на стенке; для тонкого слоя у стенки s0= s.
В случае касательное напряжение s
;
.
Разделив переменные и проинтегрировав последнее равенство, получим
или
.
Здесь – динамическая скорость.
Для турбулентной области
,
,
тогда .
Если ввести безразмерные переменные
и
,
то .
Проинтегрировав последнее уравнение, получим
. (7.159)
Следовательно, профиль скоростей в пристенной области носит логарифмический характер. Этот вывод был подтвержден экспериментально Никурадзе. Полный универсальный профиль скоростей описывается им следующей системой уравнений:
в ламинарном подслое (у*<5) ;
в промежуточном слое (5<y*<30) ; (7.160)
в турбулентном ядре (y* >30) .
Выводы из описанной теории пограничного слоя позволили также связать теплоотдачу и гидравлическое сопротивление.
Согласно приведенным ранее соотношениям для касательного напряжения и теплового потока
;
,
.
Либо
. (7.161)
Проинтегрировав это уравнение применительно к трубе в пределах от стенки до оси трубы, получим
, (7.162)
где w0, t0 – скорость и температура в ядре потока, tcт – температура стенки;
;
,
тогда равенство (7.162) можно представить в виде
. (7.163)
При турбулентном режиме профиль скорости в ядре потока плоский. С учетом подобия такой же профиль можно принять и для температурного потока. Отсюда следует, что w0 и t0 мало отличаются от среднерасходной скорости w и среднемассовой температуры tm. Используя замену на
, можно записать
.
Отсюда
. (7.164)
Полученное уравнение (7.164) позволяет рассчитать коэффициент теплоотдачи через коэффициент гидравлического сопротивления f. Эта зависимость справедлива при
.
Теплопередача
Одним из наиболее распространенных на практике видов сложного теплообмена является перенос тепла от одного теплоносителя к другому через разделяющую их стенку. В этом случае тепло от одного теплоносителя к стенке и от стенки к другому теплоносителю передается конвекцией (теплоотдачей), а через стенку – теплопроводностью. Такой способ переноса тепла получил название теплопередачи, а стенка – поверхности теплопередачи.