Пример выполнения типового расчета. Условие типового расчета

Условие типового расчета

Уравнения кривых заданы таблицей из коэффициентов.

№ п/п A B C D E
–36 –50 –72
–16 –23
–12
–4

Приведем решения первых трех задач, указанных в задании.
Задача 1.
1. По условию, уравнение имеет вид: 25x2 – 36y2 – 50x – 72y + 3589 = 0.
2. Так как AB = 25·(–36) < 0, то это уравнение гиперболического типа (см. 1, п. 1.2), следовательно, оно может определять или гиперболу, или пару пересекающихся прямых.
3. Выделим полные квадраты и приведем уравнение к каноническому виду:
25(x2 – 2x) – 36(y2 + 2y) + 3589 = 0;
25(x – 1)2 – 36(y + 1)2 = –3589 + 25 – 36;
25(x – 1)2 – 36(y + 1)2 = –3600;
.
4. Перейдем к новой ДПСК ­ X′O′Y′ :

; ­ ­ ­ (12)

Тогда наше уравнение примет вид

(13)

Теперь хорошо видно, что данное уравнение определяет гиперболу (см. III). Однако наша гипербола расположена относительно ДПСК ­ X′O′Y′ не так, как изображено на рис. 7.2, а повернута на 90°, т.е. ее действительная ось – ось OY, а мнимая – OX.
5. Найдем основные числовые характеристики гиперболы.
Действительная полуось a = 10. Мнимая полуось b = 12.
Расстояние от центра до фокуса .
Эксиентриситет гиперболы ε = c/d = 1.56 > 1.
6. Найдем координаты замечательных точек и уравнения замечательных прямых сначала в ДПСК ­ X′O′Y′, затем, пользуясь формулами (7.12), в данной ДПСК ­ XOY.
a)
Следовательно, координаты центра гиперболы O' в данной ДПСК ­ XOY будут (1,–1).
b) Уравнения осей симметрии. Как мы уже отмечали, наша гипербола имеет действительную ось – ось O'Y' : x'= 0 и мнимую ось – ось O'X' : y' = 0 . С учетом (7.12) уравнение действительной оси x = 1, аналогично,уравнение мнимой оси: y = –1.
с) Вершины:
В системе X'O'Y'
, ­ ­ где ­ ­ ;
, ­ где ­ ;
отсюда, в системе XOY, A1 (X1,Y1) = A1(1; –11), A2(X2, Y2) = A2(1; 9).
d) Фокусы. В системе X'O'Y' :


Отсюда в системе XOY : ­ F1(–1; –16,6); ­ F2(1; 14,6).
e) Директрисы.


L1­ : ­ y = –7,4; ­ ­ ­L2: y = 5,4.
f) Асимптоты.
.
x – 1,2y – 2,2 = 0.
.
x + 1,2y + 0,2 = 0.
Γ1­ : ­ x – 1,2y – 2,2 = 0; ­ ­ ­ ­ Γ2­ : ­ x + 1,2y + 0,2 = 0.
7 Сводка полученных результатов

Данное уравнение кривой 25x2 – 36y2 – 50x – 72y + 3589 = 0
Уравнение кривой относительно ДПСК ­ X'O'Y' (после параллельного переноса)
Название кривой Гипербола
Полуоси Действительная полуось a = 10 Мнимая полуось b = 12
Расстояние от центра до фокуса
Эксцентриситет
Связь между координатами точки (X,Y ) и (X',Y' ) ;

 

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ Координаты в ДПСК ­ X'O'Y' Координаты в ДПСК ­ XOY
Центр O' (0, 0) (1, –1)
Вершины A1 A2 (0; –10) (0; 10) (1; –11) (1; 9)
Фокусы F1 F2 (0; –15,6) (0; 15,6) (1; –16,6) (1; 14,6)
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ Уравнение в ДПСК ­ X'O'Y' Уравнение в ДПСК ­ XOY
Оси Действительная Мнимая x' = 0 y' = 0 x = +1 y = –1
Директрисы L1 L2 y' = –6,4 y' = 6,4 y = –7,4 y' = 5,4
Асимптоты Γ1 Γ2 x' = 1,2y'x' = –1,2y' x – 1,2y – 2,2 = 0 x + 1,2y + 0,2 = 0

8. На рисунке 7.4 изображена гипербола.


Рис. 7.4 Гипербола


Задача 2.
1. По условию уравнение имеет вид
y2 – 16x + 6y – 23 = 0.
2. Так как AB = 0 ·1 = 0, то это уравнение параболического типа (см. 1, п.2); далее, так как C ≠ 0 (см. 1, п. 2.1), то это уравнение определяет параболу.
3. Выделим полный квадрат:
(y2 + 6y + 9) = 16x + 23 + 9; ­ (y + 3)2 = 16(x + 2).
4. Перейдем к новой ДПСК ­ X'O'Y'

­ ­ (14)

тогда наше уравнение примет вид: (y')2 = 16x'.
5. Найдем параметр: 2p = 16, ­ p = 8.
6. Найдем координаты замечательных точек и уравнения замечательных прямых:
а) Вершина ­ ­ (См. (14)). ­ ­ O'(–2; –3).
b) Уравнение оси: ­ y' = 0, ­ y + 3 = 0, ­ т.е. ­ y = –3.
c) Координаты фокуса F(p/2,0):
F(2, –3).
d) Уравнение директрисы: ­ z : ­ X' = –p/2; ­ ­ X' = –4; ­ ­ X + 2 = –4 ­ ­ или ­ ­ X = –6.