Основные характеристики функции
СОДЕРЖАНИЕ
Глава I. ФУНЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ
§ 1. Множества............................................................................................................................ 2
§ 2. Понятие функции................................................................................................................ 4
§ 3. Основные характеристики функции................................................................................. 5
§ 4. Классификация функций.................................................................................................... 6
4.1. Обратная функция........................................................................................................ 6
4.2. Сложная функция......................................................................................................... 7
4.3. Основные элементарные функции и их графики..................................................... 8
§ 5. Числовые последовательности........................................................................................... 10
§ 6. Предел функции.................................................................................................................. 12
6.1. Предел функции в точке.............................................................................................. 12
6.2. Предел функции при 
................................................................................... 13
6.3. Теоремы о пределах функций..................................................................................... 13
6.4. Два замечательных предела......................................................................................... 14
§ 7. Бесконечно большие и бесконечно малые функции....................................................... 16
7.1. Бесконечно большие функции и их свойства.......................................................... 16
7.2. Бесконечно малые функции и их свойства............................................................... 16
7.3. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией.................... 17
7.4. Сравнение бесконечно малых функций.................................................................... .18
§ 8. Вычисление пределов функций......................................................................................... 19
§ 9. Непрерывность функции.................................................................................................... 21
9.1.Односторонние пределы............................................................................................... 21
9.2. Понятие непрерывности функции............................................................................. 21
9.3. Классификация точек разрыва функции.................................................................... 22
9.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке........................................................... 24
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 10. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл................................ 25
10.1. Определение производной..................................................................................... 25
10.2.Геометрический смысл производной..................................................................... 26
10.3. Физический смысл производной........................................................................... 27
§ 11. Правила дифференцирования функций и производные элементарных
функций.............................................................................................................................. 27
11.1. Правила дифференцирования................................................................................ 27
11.2. Производные элементарных функций................................................................... 28
11.3. Логарифмическое дифференцирование............................................................... .30
11.4. Производные высших порядков............................................................................ 31
11.5. Производная неявной функции............................................................................. 32
11.6. Производная функции, заданной параметрически.............................................. 33
§ 12. Дифференциал функции................................................................................................... 33
§ 13. Основные теоремы дифференциального исчисления................................................... 33
§ 14. Правило Лопиталя............................................................................................................. 37
14.1. Теорема Лопиталя..................................................................................................... 37
14.2. Другие виды неопределенностей и их раскрытие................................................ 38
§ 15.Исследование функций при помощи производных...................................................... 39
15.1. Признак монотонности функции. Необходимое условие
экстремума функции................................................................................................ 39
15.2. Достаточные условия экстремума......................................................................... 40
15.3. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.......................... 41
15.4. Асимптоты графика функций................................................................................. 42
15.5. Общая схема исследования функции .................................................................... 43
15.6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.................................. 45
Литература................................................................................................................................... 46
Глава I. ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ
Множества
1.Множеством называется совокупность, система, семейство некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Например, множество студентов университета, множество корней уравнения, множество натуральных чисел.
Обозначаются множества заглавными буквами латинского алфавита: 
.
Объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.
Элементы множества обозначаются соответственно строчными буквами латинского алфавита: 
Например, 
– элемент 
принадлежит множеству 
; 
–элемент 
не принадлежит множеству ;
Множество, не имеющее ни одного элемента, называется пустым множеством. Пустое множество обозначается так: 
Элементы множества записываются в фигурных скобках, в которых они перечислены или в скобках может быть указано свойство, которым обладают все элементы данного множества.
Например, 
– множество 
состоит из трех чисел 1, 8, 6 ; 
– множество состоит из всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству 
.
Множество называется подмножеством множества 
, если каждый элемент множества является элементом множества . Обозначается подмножество так: 
( включено в ) или 
(множество включает в себя множество ).
Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными множествами. Если и 
, то 
, следовательно, говорят, что множества и равны илисовпадают.
Объединением (или суммой) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному их этих множеств. Записывают 
или 
.
Пересечением (или произведением) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых одновременно принадлежит множеству и множеству . Записывают 
или 
.
Разностьюмножеств и называется совокупность тех элементов , которые не содержатся в . Записывают 
.
2. Для сокращения записей используются некоторые логические символы:
- следует, т.е. из предложения 
следует предложение 
;
- равносильно, т.е. и 
;
- для любого, для всякого;
- существует, найдется;
- имеет место, такое что;
- соответствие.
Например, 
– для любого элемента 
из множества имеет место предложение 
; 
объединение множеств и .
3. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.
Например:
– множество натуральных чисел;
– множество целых неотрицательных чисел;
– множество целых чисел;
– множество рациональных чисел;
– множество действительных чисел.
Между этими множествами существует соотношение 
.
Множество содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается дробью.
Например:
– ( конечная десятичная дробь); 
– (бесконечная периодическая дробь).
Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными числами. Это бесконечные непериодические дроби.
Например, 
, 
.
4.Пусть и – действительные числа, причем 
.
Числовыми промежутками (интервалами) называются подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:
– отрезок (сегмент, замкнутый промежуток);
– интервал (открытый промежуток);
| – полуоткрытые интервалы; | |||
| ||||
| – бесконечные интервалы; | |||
| ||||
| ||||
| ||||
Числа и называются соответственно левым и правым концами промежутков. Символы 
и 
не числа, это символическое обозначение неограниченного удаления точек числовой оси от начала 0 влево и вправо.
Пусть точка 
–любое действительное число (точка на числовой прямой).
Окрестностью точки 
называется любой интервал 
, содержащий точку .
Интервал 
, где 
, называется 
–окрестностью точки ,число – центр интервала, число – радиус интервала.
Если 
, то выполняется неравенство 
.
Это означает попадание точки 
в – окрестность точки .
Понятие функции
Одним из основных понятий математики является понятие функции. Оно связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.
Определение. Если каждому элементу 
соответствует единственный элемент 
, то говорят, что на множестве 
задана функция 
( 
- знак функции).
Переменную 
называют аргументом или независимой переменной, а переменную 
– зависимой переменной от х; множество 
– областью определения функции 
, а множество 
– множеством значений функции 
, – закон соответствия. – множество значений аргумента, при которых формула имеет смысл.
Кроме буквы для обозначения функций используют и другие буквы греческого и латинского алфавитов: 
, 
, 
, 
и так далее.
Примеры.
1) 
, 
.
2) 
, 
.
3) 
или 
, 
.
4) 
, 
.
Если элементами множеств и 
являются действительные числа, то функция называется числовой.
Частное значение функции при 
обозначают так: 
.
Например, 
График функции 
– это множество точек плоскости с координатами 
, где 
, для каждой из которых является значением аргумента, а 
является соответствующим значением функции.
Способы задания функции.
1. Аналитический: функция задается с помощью одной или нескольких формул, или уравнений.
Если область определения функции не указана, то она совпадает со множеством всех значений аргумента, при которых указанная формула имеет смысл.
2.Графический: задается график.
3.Табличный: с помощью таблицы ряда значений аргумента и соответствующих значений функции, полученных в результате некоторого опыта.
4.Словесный: функция описывается правилом ее составления.
Например, функция Дирихле 
, если 
, если – иррациональное.
Основные характеристики функции
1.Функция 
, определенная на множестве 
, область опреления которой симметрична относительно начала координат, называется: четной, если 
выполняются условия 
и 
; нечетной, если выполняются условия и 
. В противном случае функция называется функцией общего вида.
График четной функции симметричен относительно оси 
, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Например, функция 
- четная, а функция 
–функция общего вида.
2. Пусть функция определена на множестве 
, интервал 
.
Если для любых 
и 
из интервала 
, причем 
, выполняется неравенство:
1) 
, то функция называется неубывающей на 
;
2) 
, то функция называется невозрастающей на ;
3) 
, то функция называется возрастающейна ;
4) 
, то функция называется убывающей на .
Во всех рассмотренных случаях функции называются монотонными, авозрастающая и убывающая функции строго монотонными.
Например, на рисунке функция на 
строго монотонная;
на 
монотонная.
3. Функция , определенная на множестве , называется периодическойна этом множестве с периодом 
, где – положительное число, если выполняются условия: 
и 
. Если – период, то периодом функции также будут числа 
, где 
Например, для функции 
периодами будут числа 
4. Функция , определенная на множестве , называется ограниченной на этом множестве, если существует такое число 
, что для всех 
выполняется неравенство 
. Коротко можно записать так:
.
График ограниченной функции расположен между прямыми 
и 
. Например, функция 
ограничена, так как 
.
Классификация функций
Обратная функция
Пусть функция от с областью значений . Пусть, кроме того, каждому значению соответствует только одно значение . Тогда на множестве определена функция 
с областью значений , обладающая свойством 
для любого из множества .
Функция 
называется обратной к функции . Если – обратная функция к 
, то функция – обратная функция к . Про функции и 
говорят, что они являются взаимно обратными.
Чтобы найти функцию , обратную к функции , достаточно решить уравнение 
относительно . Традиционно независимую переменную обозначают , а зависимую .
Например, функции 
и 
взаимно обратные. Графики их симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов.
Из определения обратной функции следует, что для любой строго монотонной функции существует обратная. При этом если возрастает, то и также возрастает.
Например, функция 
на 
строго возрастает.
На этом промежутке существует обратная ей функция 
, которая также возрастает.
Сложная функция
Пусть функция определена на множестве , а функция 
определена на множестве 
, причем 
соответствующее значение 
. Тогда функция 
, определенная на множестве , называется сложной функцией ( или суперпозицией заданных функций или функцией от функции) с аргументом 
.
Например, 
– сложная функция, аргумент 
.