Связанные контуры как полосовой фильтр
Идеальный фильтр должен иметь П-образную частотную характеристику и линейную фазовую характеристику в полосе пропускания. Для решения многих радиотехнических задач необходимы фильтры, частотная характеристика которых приближается к идеальной. Для создания таких фильтров используется система контуров, связанных между собой или общим магнитным полем (индуктивная связь), или общим электрическим полем (ёмкостная связь).
Рассмотрим два одинаковых контура (R1=R2=R, L1=L2=L, C1=C2=C) с индуктивной связью (рис. 1).
Коэффициент передачи такой схемы:
(1)
где - комплексные амплитуды э.д.с., силы тока во втором контуре и напряжения на конденсаторе.
Для нахождения амплитуды силы тока в контурах запишем систему уравнений Кирхгофа:
(2)
М – коэффициент взаимной индукции.
Воспользовавшись методом комплексных амплитуд, запишем в комплексной форме: ,
,
. Подставив эти значения в систему (2) получим систему уравнений:
(3)
где
- сопротивления связи.
Решая систему уравнений (3), находим
(4)
Из первого соотношения (4) можно заключить, что связь первого контура со вторым контуром в электрическом отношении эквивалентна включению в первый контур дополнительно вносимого сопротивления Zвн:
, (5)
где:
.
С энергетической точки зрения наличие объясняется тем, что часть энергии источника поступает во второй контур и поглощается в его активном сопротивлении. Наличие
связано с тем, что ток I2 наводит э.д.с. взаимной индукции в первом контуре. Таким образом, влияние второго контура на первый приводит к увеличению эквивалентного активного сопротивления первого контура на
и изменению его эквивалентного реактивного сопротивления на
. Следовательно, эквивалентное сопротивление симметричной системы двух связанных контуров, измеренное на входных зажимах «11» можно представить в виде:
,
. На собственной частоте
:
(6)
и
зависят от частоты сигнала (от расстройки
). При
,
, а
, имеет максимальное значение. В зависимости от М
может быть как больше, так и меньше собственного активного сопротивления R первого контура.
Если , связь называется критической.
Если , связь слабая.
Если , связь больше критической.
При критической связи .
Умножив числитель и знаменатель левой части на L2, получим:
Количественно связь между контурами характеризуется коэффициентом связи . При одинаковых контурах L1=L2=L,
определяет, какая доля собственного магнитного потока катушки первого контура проходит через катушку второго. При критической связи
.
Найдём резонансные частоты системы из условия равенства нулю её реактивного сопротивления .
В последнее уравнение подставим (6), учтём, что , а
, получим:
(7)
Получили уравнение (7) третьей степени относительно . Корни этого уравнения
.
При связи меньше критической ( ) корни
мнимые и не имеют физического смысла. Следовательно, при
система имеет одну резонансную частоту
, определяемую действительным корнем (
). При
все три корня равны 0, система в этом случае имеет одну резонансную частоту
. При
все три корня уравнения (7) действительны и, значит, система имеет три резонансных частоты, одна из которых
, а две другие
.
Частоты называют частотами связи, или нормальными частотами системы.
Для связанных контуров при можно получить фильтр с более широкой полосой пропускания по сравнению с одиночным контуром и амплитудно-частотную характеристику, близкую к идеальной П-образной.
Определим значение коэффициента передачи. Для этого подставим Im2 из (4) в (1), получим:
(8)
Преобразуем знаменатель (8), учитывая, что расстройка и
, тогда:
Подставим последнее выражение в (8):
.
Откуда
(9)
На рис. 24 приведено семейство зависимостей K(
), описываемых уравнением (9) для различных значений
.
При
.
Ширина полосы пропускания связанных контуров определяется также, как и для одиночного:
или
.
Отсюда . Тогда относительная полоса пропускания при критической связи (кривая 2, рис. 24)
в
раз больше, чем у одиночного контура.
При амплитудно-частотная характеристика не имеет провала при
(кривая 1, рис. 24). При слабой связи (
)
.
Отсюда .
Таким образом, при слабой связи полоса пропускания связанных контуров уже, чем у одиночного контура.
При амплитудно-частотная характеристика становится двугорбой, с провалом при
(кривая 3, рис. 24). Оптимальным считается такое значение
, при котором коэффициент передачи в минимуме К(0) в
раза меньше, чем в максимуме Kmax.
В этом случае можно составить два уравнения:
(10а)
(10б)
Учитывая, что при модуль коэффициента передачи К на частотах связи
не зависит от
и равен модулю коэффициента передачи при критической связи и
, получим:
.
Откуда
(11)
Подставим (11) в (9), и учитывая (10а), получим:
.
Отсюда
.
Следовательно, в оптимальном случае , а полоса пропускания фильтра связанных контуров примерно втрое шире, чем у одиночного контура-фильтра.
Глава 5.
Электронные приборы.