Параллельность прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости
План:
1 Расположение прямой и плоскости.
2 Определение прямой параллельной плоскости.
3 Признак прямой параллельной плоскости.
4 Следствия из признака.
1 а)Прямая лежит в плоскости
б)Прямая и плоскость имеют только одну общую точку, т.е. пересекаются.
в)Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.
2 Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
3 Теорема: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и данной плоскости.
Дано: α, b α, bǁа, а не лежит в α
Доказать: аǁα
Доказательство: предположим, что а α=М, тогда по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми b
α. Но b
α, значит это невозможно. Поэтому аǁα.
4 а) Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Дано: аǁα, α β=b
Доказать: bǁа
Доказательство: а β и b
β, а не пересекается с b => bǁа
б) Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо так же параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.
2. Задача по теме «Перпендикуляр и наклонная».
Билет № 5
Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых.
Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Теорема: если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то такие прямые называются скрещивающимися.
Дано: а, b, b α=K, К
α
Доказать: а и b – скрещивающиеся
Доказательство: предположим, что они не скрещивающиеся, значит, а и b образовали β. Получили, что β проходит через прямую а и точку пересечения К. β=α => b α, что противоречит условию β
α => а и b – скрещивающиеся.
Возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:
· Прямые пересекаются (имеют только одну общую точку)
· Прямые параллельны (лежат в одной плоскости и не пересекаются)
· Прямые скрещиваются (не лежат в одной плоскости)
Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и при том только одна.
Дано: АВ и СD – скрещивающиеся, АВ α
Доказать: αǁCD
Доказательство: проведем через точку А прямую АЕ, параллельную прямой CD, и обозначим буквой α плоскость, проходящую через прямые АВ и АЕ. Так как прямая CD не лежит в плоскости α и параллельна прямой АЕ, лежащей в этой плоскости, то прямая CD параллельна плоскости α.
2. Задача по теме «Прямоугольны параллелепипед»
Билет №6