Особенности (принципы) построения дисциплины
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины
«ГЕОМЕТРИЯ И АЛГЕБРА»
ООП: 010500 - Прикладная математика и информатика; квалификация:
бакалавр прикладной математики и информатики
Факультет прикладной математики и информатики
Курс 1, семестры 1, 2
Лекции - 36/ 51 час.
Практические занятия - 54/ 68 час.
Контрольные работы - 1/ 2 семестры
РГЗ - 1/ 2 семестры
Самостоятельная работа - 148 час.
Экзамен-1/ 2 семестры
Всего - 357 час.
Новосибирск
Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 510200 - Прикладная математика и информатика.
Регистрационный номер 200ен/бак, дата утверждения 23.03.2000г.
Шифр дисциплины в ГОС – ЕНФ.01.02, федеральный компонент.
Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры прикладной математики(протокол № 3 от 16 мая 2006г.).
Программу разработал
доцент, к.т.н., доцент _____________ Чубич В.М.
Ответственный за основную образовательную программу:
заведующий кафедрой прикладной математики,
профессор, д.т.н., профессор _____________ Соловейчик Ю.Г.
Внешние требования
Таблица 1
Требования ГОС к обязательному минимуму содержания дисциплины
| Индекс дисциплины | Содержание учебной дисциплины «Геометрия и алгебра» | Часы |
| ЕНФ.01.2 | Аналитическая геометрия; теория матриц; системы линейных алгебраических уравнений; линейные пространства и операторы; элементы общей алгебры. | 357 |
Квалификационная характеристика бакалавра прикладной математики
Бакалавр прикладной математики и информатики подготовлен преимущественно к выполнению исследовательской деятельности в областях, использующих методы прикладной математики и компьютерные технологии; к разработке и применению современных математических методов и программного обеспечения для решения задач науки, техники, экономики и управления.
Требования к профессиональной подготовленности бакалавра
Прикладной математики и информатики
Бакалавр прикладной математики и информатикидолжен знать и уметь использовать:
аналитическую геометрию и линейную алгебру.
Особенности (принципы) построения дисциплины
Таблица 2
Особенности (принципы) построения дисциплины
| Особенность (принцип) | Содержание |
| Основания для введения дисциплины в учебный план направления | Стандарт направления, дисциплина федерального компонента. |
| Адресат дисциплины | Студенты направления 010500 – Прикладная математика и информатика. |
| Основная цель дисциплины | Изучить основы линейной алгебры и аналитической геометрии; получить навыки использования математического аппарата; развить аналитическое мышление. |
Продолжение табл.2
| Ядро дисциплины | Теория матриц и определителей, конечномерных линейных и евклидовых пространств, линейных операторов в этих пространствах, квадратичных форм, систем линейных алгебраических уравнений, геометрия прямых и плоскостей, общая теория кривых и поверхностей второго порядка. |
| Требования к начальному уровню подготовки | Для успешного изучения дисциплины студенту необходимо знание курса математики в объеме средней школы. |
| Уровень требований по сравнению с ГОС | Соответствует ГОС. |
| Объем дисциплины в часах | 87 часов лекций, 122 часов практических занятий. |
| Описание основных точек контроля | Промежуточный контроль – контроль выполнения домашних заданий, написание контрольных работ, защита РГЗ, экзамен в 1 семестре. Итоговый контроль – экзамен во втором семестре. |
| Основные понятия дисциплины | Матрица, определитель, линейное пространство, линейная зависимость, базис, подпространство, система линейных алгебраических уравнений, евклидово пространство, нормированное пространство, ортонормированный базис, билинейная форма, квадратичная форма, линейный оператор, собственный вектор, собственное значение, сопряженный оператор, оператор простой структуры, аффинное пространство, прямая, плоскость, кривая, поверхность, жорданова нормальная форма, функция от матрицы. |
| Обеспечение последующих дисциплин образовательной программы | Математический анализ, дифференциальные уравнения, уравнения математической физики, численные методы, методы оптимизации, математическое моделирование управляемых систем. |
| Практическая часть дисциплины | Включает в себя практические занятия и РГЗ. При этом используются авторские сборник задач (в формате Word имеются электронные версии всех трех частей) и методические указания (также имеются в формате Word). |
Окончание табл.2
| Направленность дисциплины на развитие общепредметных, общеинтеллектуальных умений, обладающих свойством переноса, направленность на саморазвитие | Анализ, обобщение, синтез, классификация, абстрагирование. |
Цели учебной дисциплины
Таблица 3
Цели учебной дисциплины
| Но-мер цели | Содержание цели |
| Студент будет иметь представление: | |
| об отношении эквивалентности; | |
| об основах теории билинейных и квадратичных форм в комплексном линейном пространстве; | |
| об инвариантах поверхностей второго порядка; | |
| об основных алгебраических структурах (группах, кольцах, полях). | |
| Студент будет знать: | |
| основы теории определителей и матриц; | |
| основы теории конечномерных линейных пространств; | |
| основы теории систем линейных уравнений; | |
| основы теории евклидовых и унитарных пространств; | |
| основы теории билинейных и квадратичных форм в действительном линейном пространстве; | |
| основы теории линейных операторов; | |
| элементы геометрии прямых и плоскостей в аффинном пространстве; | |
| основы теории кривых и поверхностей второго порядка. | |
| Студент будет уметь: | |
| работать с комплексными числами; | |
| выполнять действия с матрицами; | |
| вычислять определители матриц; |
Продолжение табл.3
| проверять, образует ли данное множество с введенными на нем операциями сложения и умножения на число линейное пространство; | |
| выяснять, является ли данная система векторов линейного пространства линейно независимой; | |
| находить базы данной системы векторов; | |
| проверять заданные системы векторов на эквивалентность; | |
| определять размерность и базис линейного пространства; | |
| находить координаты вектора в некотором базисе; | |
| дополнять до базиса какую-либо линейно независимую систему векторов; | |
| находить базисы суммы и пересечения подпространств; | |
| проверять, является ли сумма подпространств прямой; | |
| строить фундаментальную систему решений однородной системы линейных алгебраических уравнений; | |
| вычислять ранг матрицы; | |
| исследовать на совместность неоднородные системы линейных алгебраических уравнений; | |
| решать системы линейных алгебраических уравнений; | |
| находить ортогональную проекцию и перпендикуляр, опущенный из заданного вектора на подпространство | |
| применять процесс ортогонализации векторов; | |
| строить базис ортогонального дополнения; | |
| приводить квадратичную форму к каноническому виду и находить канонический базис; | |
| проверять квадратичную форму на положительную определенность; | |
| проверять линейность оператора; | |
| строить матрицу линейного оператора в фиксированных базисах линейных пространств | |
| находить ядро и образ линейного оператора; | |
| пересчитывать матрицу линейного оператора при изменении базисов линейных пространств; | |
| находить собственные векторы и собственные значения линейных операторов; | |
| проверять, является ли данный оператор оператором простой структуры; | |
| строить канонические разложения матриц операторов простой структуры; | |
| находить матрицу сопряженного оператора; | |
| находить канонический вид матрицы ортогонального оператора и строить соответствующий канонический базис; | |
| строить различные уравнения прямых в аффинном пространстве; | |
| находить расстояния от точки до прямой, между двумя скрещивающимися прямыми; |
Окончание табл.3
| исследовать взаимное расположение прямых в аффинном пространстве; | |
| строить различные уравнения плоскостей в аффинном пространстве; | |
| находить расстояния от точки до плоскости, между двумя параллельными плоскостями; | |
| приводить уравнение кривой второго порядка к каноническому виду с определением типа кривой и канонической системы координат; | |
| составлять каноническое уравнение кривой по инвариантам; | |
| приводить уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду с определением типа поверхности и канонической системы координат; | |
| строить жорданову нормальную форму матрицы линейного оператора и соответствующий ей канонический базис; | |
приводить  -матрицу к нормальному диагональному виду;
| |
| находить минимальный многочлен матрицы; | |
| определять инвариантные множители и по ним строить жорданову нормальную форму матрицы; | |
| вычислять функции от матриц; |
Содержание учебной дисциплины
Таблица 4
Лекционные занятия (87 час.)
| Модуль «Матрицы и определители» | ||
| Семестр №1 | ||
| Темы и содержание лекционных занятий | Часы | Ссылки на цели дисциплины |
| Группы, кольца, поля. Поле комплексных чисел. Бинарная алгебраическая операция. Определения группы, подгруппы, кольца, поля. Следствия из аксиом поля. Примеры групп, колец и полей. Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Действия над комплексными числами. | 4,13 | |
| Матрицы. Понятие матрицы. Основные операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, перемножение матриц) и их свойства. Полиномы от матриц. Блочные матрицы. | 5,14 | |
| Определители. Определение и простейшие свойства определителей. Вычисление определителей второго и третьего порядков. Разложение определителя по строке (столбцу). Теорема Лапласа. Решение квадратной системы линейных алгебраических уравнений с невырожденной основной матрицей по формулам Крамера. Обратные матрицы. | 5,7,15,28 | |
| Модуль «Линейные пространства и СЛАУ» | ||
| Семестр №1 | ||
| Темы и содержание лекционных занятий | Часы | Ссылки на цели дисциплины |
| Линейные пространства. Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств. Свойства линейных пространств. Линейная зависимость. Эквивалентные системы векторов. Ранг системы векторов. Базы. Базис и размерность линейного пространства. Подпространства линейного пространства. Сумма и пересечение подпространств. Разложение линейного пространства в прямую сумму подпространств. Изоморфизм линейных пространств. | 1,6,16,17, 18,19,20, 21,22,23, | |
| Системы линейных алгебраическихуравнений. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Нетривиальная совместность однородной системы. Теорема Кронекера - Капелли. Пространство решений однородной системы. Фундаментальная система решений. Структура общего решения неоднородной системы. | 7,25,26, 27,28 | |
| Модуль «Евклидовы и унитарные пространства» | ||
| Семестр №1 | ||
| Темы и содержание лекционных занятий | Часы | Ссылки на цели дисциплины |
| Евклидовы и унитарные пространства. Определение евклидова пространства. Примеры евклидовых пространств. Неравенство Коши - Буняковского. Нормированное пространство. Процесс ортогонализации. Ортонормированный базис и его свойства. Разложение евклидова пространства на прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнение. Изоморфизм евклидовых пространств. Определение унитарного пространства. Примеры унитарных пространств. Неравенство Коши - Буняковского. Понятие нормы. Ортонормированный базис и его свойства. | 8,29,30, | |
| Модуль «Квадратичные формы и линейные операторы» | ||
| Семестр №1 |
| Темы лекционных занятий | Часы | Ссылки на цели дисциплины |
| Билинейные и квадратичные формы. Линейная форма. Билинейные формы. Матрица билинейной формы. Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методами Лагранжа и Якоби. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Определители Грамма. Закон инерции квадратичной формы. Ранг квадратичной формы. Билинейные и квадратичные формы в комплексном n – мерном пространстве. | 2,9,32, | |
| Семестр №2 | ||
Линейные операторы в линейных пространствах.
Определение и примеры линейных операторов. Действия с линейными операторами. Пространство линейных операторов. Ядро и образ линейного оператора. Связь между дефектом, рангом и размерностью области определения линейного оператора. Обратный оператор. Невырожденный оператор. Определение и примеры нахождения матриц линейных операторов. Связь между координатами вектора – образа и вектора – прообраза. Изоморфизм пространства линейных операторов пространству прямоугольных матриц соответствующего размера. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах. Эквивалентные и подобные матрицы. Критерий эквивалентности двух матриц. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Оператор простой структуры. Связь между линейными операторами и билинейными формами в унитарном пространстве. Операция перехода от оператора  к сопряженному  . Свойства операции *. Нахождение матрицы сопряженного оператора в ортонормированном (ортогональном) базисе. Основные свойства самосопряженных и унитарных операторов. Спектральная характеристика нормального оператора. Критерий простоты структуры линейного оператора. Достаточный признак оператора простой структуры. Линейные операторы в вещественном линейном пространстве. Основные свойства симметричных и ортогональных операторов.
| 10,34,35, 36,37,38, 39,40,41, | |
| Модуль «Аналитическая геометрия» | ||
| Семестр №2 | ||
| Темы лекционных занятий | Часы | Ссылки на цели дисциплины |
| Элементы n – мерной аналитической геометрии. Определение n – мерного аффинного пространства. Различные способы задания прямой в аффинном пространстве (векторный, в параметрическом виде, канонический, по двум точкам). Угол между прямыми. Нахождение расстояния от данной точки до данной прямой. Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую. Взаимное расположение двух прямых. Нахождение кратчайшего расстояния между двумя скрещивающимися прямыми. Общий перпендикуляр двух прямых. M – плоскости и гиперплоскости в аффинном пространстве. Различные виды уравнения плоскости (векторный, параметрический, по точке и нормали, по точке и направляющим векторам, по n точкам). Угол между плоскостями. Условие принадлежности n+1 точки одной плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Классификация кривых второго порядка. Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. Инварианты кривой второго порядка. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Классификация поверхностей второго порядка. | 3,11,12, 43,44,45, 46,47,48, 49,50 | |
| Модуль «Жорданова нормальная форма, функции от матриц» | ||
| Семестр №2 | ||
| Темы лекционных занятий | Часы | Ссылки на цели дисциплины |
| Жорданова нормальная форма линейного оператора.
Теорема о жордановой нормальной форме. Присоединенные векторы. Корневые и циклические подпространства. - матрицы. Элементарные преобразования - матриц. Приведение - матриц к нормальной диагональной форме. Инвариантные множители. Нахождение по жордановой нормальной форме инвариантных множителей и наоборот.
| 10,51,52, 53,54 |
| Функции от матриц. Определение и свойства функции от матрицы. Вычисление функции от матрицы через ее жорданову нормальную форму. Интерполяционный многочлен Лагранжа - Сильвестра. Основная формула. |
Таблица 5
Практические занятия (122час.)
| Модуль «Матрицы и определители» | ||
| Семестр №1 | ||
| Темы практических занятий | Часы | Ссылки на цели дисциплины |
| Группы, кольца, поля. | ||
| Комплексные числа и действия с ними. | ||
| Действия с матрицами. | 5,14 | |
| Определение и простейшие свойства определителей. | 5,15 | |
| Миноры, алгебраические дополнения и теорема Лапласа. | 5,15 | |
| Крамеровские системы линейных уравнений. Обратные матрицы. | 5,7,28 | |
| Модуль «Линейные пространства и СЛАУ» | ||
| Семестр №1 | ||
| Определение линейного пространства. | 6,16 | |
| Линейная зависимость векторов. | 6,17 | |
| Эквивалентные системы векторов. | 6,18,19 | |
| Базис и размерность линейного пространства. | 6,20,21,22 | |
| Подпространства линейного пространства. Сумма и пересечение подпространств. | 6,23,24 | |
| Ранг матрицы. Однородные системы. Фундаментальная система решений. | 7,25,26 | |
| Неоднородные системы. Теорема Кронекера - Капелли. | 7,27 | |
| Модуль «Евклидовы и унитарные пространства» | ||
| Семестр №1 | ||
| Определение евклидова пространства. | ||
| Длины и углы. Ортогональность. Процесс ортогонализации Грама - Шмидта. Ортонормированный базис. | 8,30 | |
| Ортогональное дополнение, ортогональные суммы подпространств. | 8,29,31 | |
| Унитарное пространство. | ||
| Модуль «Квадратичные формы и линейные операторы» | ||
| Семестр №2 | ||
| Темы практических занятий | Часы | Ссылки на цели дисциплины |
| Билинейные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду методом Лагранжа. | 9,32 | |
| Приведение квадратичных форм к каноническому виду методом Якоби. Знакоопределенные квадратичные формы. | 9,32,33 | |
| Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора. | 10,34,35 | |
| Связь между координатами вектора - образа и вектора - прообраза. Ядро и образ линейного оператора. | 10,36 | |
| Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах. Действия с линейными операторами. | 10,37 | |
| Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. | 10,38 | |
| Линейные операторы простой структуры. | 10,39 | |
| Линейные операторы в унитарных и евклидовых пространствах. | 10,40,41,42 | |
| Модуль «Аналитическая геометрия» | ||
| Семестр №2 | ||
| Прямые в аффинном пространстве. | 11,43,44,45 | |
| Плоскости в аффинном пространстве. | 11,46,47 | |
| Прямые и плоскости в аффинном пространстве. | 11,43,44,45, 46,47 | |
| Кривые второго порядка. | 12,48,49 | |
| Поверхности второго порядка. | 12,50 | |
| Модуль «Жорданова нормальная форма, функции от матриц» | ||
| Семестр №2 | ||
| Жорданова нормальная форма матриц. | 10,51 | |
| Нормальная диагональная форма - матриц.
| ||
| Инвариантные множители. Минимальный многочлен | 10,53,54 | |
| Функции от матриц. |
Учебная деятельность
В каждом семестре студенты выполняют по одному расчетно - графическому заданию (РГЗ) и пишут по три контрольные работы. РГЗ сдается на проверку и защищается в установленные контрольные сроки частями после изучения материала соответствующего модуля.
Цели РГЗ №1 (по частям):