Свойства параллельных плоскостей
Программа устного экзамена по геометрии в 10-х классах
(летняя сессия 2011-2012 уч. года)
Определения
1) Взаимное расположение прямых в пространстве (определение каждого из возможных случаев, соответствующий чертеж)
2) Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве (определение каждого из возможных случаев, соответствующий чертеж.)
3) Взаимное расположение плоскостей в пространстве (определение каждого из возможных случаев, соответствующий чертеж)
4) Угол между прямыми
5) Параллелепипед. Виды параллелепипедов
6) Призма, ее элементы. Прямая призма. Правильная призма
7) Пирамида, ее элементы. Правильная пирамида
8) Перпендикулярность двух плоскостей
9) Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от точки до плоскости
10) Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых
11) Перпендикулярность прямой и плоскости
12) Угол между прямой и плоскостью
13) Двугранный угол
14) Линейный угол двугранного угла
15) Угол между плоскостями
Аксиомы стереометрии
А0.В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
А1(аксиома плоскости). Через три любые точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
А2(аксиома прямой и плоскости). Прямая, проходящая через две точки плоскости, лежит в этой плоскости.
А3 (аксиома пересечения плоскостей) Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.
А4(аксиома расстояния). Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, проходящей через эти точки.
Теоремы без доказательства.
Следствия из аксиом
С1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
С2 Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна..
С3. Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна
2) Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
3) Лемма о параллельных прямых. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
4) Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в данной плоскости, то она параллельна данной плоскости.
5) Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются
6) Теорема о существовании плоскостей, проходящих через две скрещивающиеся прямые.Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
7) Теорема об углах с сонаправленными сторонами. Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.
8) Признак параллельности двух плоскостей.Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны
Свойства параллельных плоскостей.
Т1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Т2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
Т3. Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой
Т4. Если плоскость пересекает одну из параллельных плоскостей. то она пересекает и вторую плоскость.
10) Теорема о существовании плоскости, параллельной данной, проходящей через данную точку. Через каждую точку пространства, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную этой плоскости, и притом только одну.
11) Теорема о параллельности прямой каждой из двух пересекающихся плоскостей. Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна их линии пересечения.
12) Теорема о линии пересечения плоскостей. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
13) Следствие из теоремы о линии пересечения плоскостей. Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются, то линия их пересечения параллельна каждой из данных прямых.
Свойства параллелепипеда.
Т1 . Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны
Т2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам