ТЕМА 2. ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ
РОЗДІЛ IV: Функції
9. Знайти область визначення функцій:
1.
2.
3.
4. ;
10. Знайти множину значень функцій:
1.
2.
3.
11. З’ясувати парність (непарність) функцій:
1.
2. .
3. .
12. Знайти основні періоди функцій:
1.
2.
РОЗДІЛ V: Границя і неперервність
1). Довести, що при послідовність
має границю число 1, починаючи з якого n абсолютна величина різниці між
і 1 не перевищує
?
2). Довести, що при послідовність
має границю число
.
3). Довести, що при послідовність
;
;
має границю, рівну 4.
4). Довести, що при послідовність 1;
;
;…..
……. є нескінченно малою.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
5). Показати, що при х=4 функція у=
має розрив.
6). Показати, що при х=5 функція у= має розрив.
7). Знайти точки розриву функції
8). Які з даних функцій є неперервними в точці х=1?
Якщо є порушення неперервності, встановити характер точки розриву
у= ; у=
,
;
у= ; у=
;
ТЕМА ІІІ. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
РОЗДІЛ VI: Похідні та диференціали
Знайти похідні функцій:
15) ; 16)
;
17) ; 18)
;
19) ; 20)
;
21) ; 22)
;
23) ; 24)
;
25) ; 26)
;
27) ; 28)
;
29) ; 30)
;
31) ; 32)
;
33) ; 34)
35) ; 36)
.
Знайти похідні функцій і обчислить їх значення при .
37) ;
; 38)
;
;
39) ;
; 40)
;
;
41) Скласти рівняння дотичної до кривої
а) в точках перетину її з прямою ;
б) паралельно і перпендикулярно цій прямій.
42) Знайти кут між кривими і прямою
.
43) Тіло рухається прямолінійно по закону , де
вимірюється в метрах, а t- в секундах. Знайти швидкість і прискорення тіла в момент
.
Знайти похідні від неявних функцій:
44) ; 45)
;
46) ; 47)
.
Знайти похідні від функцій заданих параметрично:
48) ; 49)
;
50) Знайти приріст і диференціал функції в точці
при
.
51) Обчислить приріст і диференціал функції в точці
при
1) ;
2) .
52) Знайти абсолютну похибку і відносну похибку
, які допускаються при заміні приросту функції її диференціалом.
53) Знайти диференціал заданих функцій:
а) ;
б) ;
в) .
54) Використовуючи поняття диференціала, обчислити:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
55) Використовуючи поняття диференціала, з'ясувати, з якою точністю повинен бути зміряний радіус круга, щоб його площу можна було визначить з точністю до 10%?
Використовуючи поняття диференціала, визначити, на скільки процентів зміниться величина степеня при зміні основи степеня на 5%.
56) Обсяг продукції
(ум.од.) цеху на протязі робочого дня представляє функцію
,
де t - час (годинах). Знайти продуктивність праці через 2 год. після початку роботи.
57) Залежність між витратами виробництва y (грошові од.) і обсягом продукції, що виробляється x (од.), виражається функцією
.
Визначить середні і граничні витрати при обсязі продукції, що дорівнює 5 од.
58) Функції попиту g і пропозиції s від ціни p виражаються відповідно рівняннями
і
.
Знайти:
а) рівноважну ціну;
б) еластичність попиту і пропозиції для цієї ціни;
в) зміну доходу (в процентах) при підвищені ціни на 5% від рівноважної.