![]() |
![]() |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Категории: АстрономияБиология География Другие языки Интернет Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Механика Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Транспорт Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника |
Найти координаты вершины СТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
Контрольная работа 2 по дисциплине «Высшая математика 1»
Выполнил: Пан философ
Вариант2.8
Задание № 1. Даны координаты вершин треугольника А(1,3), В(2,8), С(6,7). Записать общее уравнение его высоты АН.
Решение. Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид :
тогда уравнение ВС примет вид:
По условию высота АН ^ ВС, тогда Уравнение АН принимает вид : y=4x+b. Так как АÎАН , то 3=4+b,b=-1 и y=4x-1 – уравнение высоты. Ответ: 4x-y-1=0.
Задание № 2
В треугольнике АВС из вершины А проведены высота и медиана. Даны: Вершина В(6,5), уравнение высоты x+y=2 и уравнение медианы 2x-3y+1=0. Найти координаты вершины С.
Решение. 1. Координаты т.А находим из условия:
2. А) Высота АН ^ ВС. Уравнение высоты АН: x+y=2 т.е. y=-x+2 и Уравнение ВС принимает вид: y=x+b. Поскольку т.В(6,5) лежит на этой прямой, то 5=6+b, b=-1 и прямая ВС задана уравнением y=x-1.
Б) Координаты т.М находим из условия: М=АМ Т.е.
B(6;5) M(4;3) C(?)
Отсюда, Ответ : С(2;1).
Задание № 3 Записать общее уравнение плоскости , проходящей через точки
Решение : За нормальный вектор =3i+3j+3k. Воспользуемся уравнением плоскости , проходящей через данную точку
3( x-1)+3(y+2)+3(z-4)=0; 3x-3+3y+6+3z-12=0 3x-3y+3z-9=0 x-y+z-3=0. Ответ : x-y+z-3=0.
Задание № 4. Найти координаты проекции точки М(3,-1,-3) на плоскость 2x+y-4z+4=0 Решение : Пусть Прямая параллельна вектору нормами Параметрические уравнения этой прямой : Находим точку пересечения прямой с плоскостью : 2(2t+3)+(t-1)-4(-4t-3)+4=0 4t+6+t-1+16t+12+4=0 21t=-21, t=-1 Значит Ответ: (1;-2;1) Задание № 5. Найти коэффициент А в уравнении плоскости Ax+y+Cz+D=0 , проходящей через точки Р(1,1,8), О(0,0,0) параллельно прямой Решение : Данная плоскость параллельна векторам Тогда уравнение плоскости 14х+(-6)y-z+D=0 Итак А=14 Ответ: 14
Задание № 6. При каких значениях параметров а и с прямая
Решение : Пусть уравнение Уравнение Перейдём к каноническим уравнениям: Полагая z=t, получим:
Полагая z=t, получим: Условия пересечения двух прямых является условие: ( Имеем: Находим :
Аналогично: Находим : -а+с+1=0 Тогда :
Ответ: а=2; с=1.
Задание № 7.
Найти радиус сферы , если известно, что она касается двух плоскостей x-2y+2z+22=0 и x-2y+2z+10=0. Решение : Плоскости и , задаваемые соответственно уравнениями x-2y+2z+22=0() и x-2y+2z+10=0(), параллельны, т.к. Тогда плоскости и перпендикулярны диагональному сечению сферы, содержащему обе точки касания сферы и плоскостей. Значит r = Пусть y=z=0, тогда А(-22;0;0) и АÎ . Находим расстояние от этой точки до плоскости . Воспользуемся формулой: d= Имеем: d= Тогда расстояние плоскостями равно r= Ответ: r=
Задание № 8. Дана кривая Решение : Преобразуем уравнение: Пусть x-2=X , y-8=Y, тогда уравнение примет вид:
2. Находим центр симметрии: x-2=0 y-8=0 x=2 y=8 Тогда (2;8)-центр симметрии эллипса.
3. Так как
4. Уравнение фокальной оси : х=2.
5. Построим эллипс:
8 2 x´
x
Ответ : 2) О´(2;8)- центр симметрии 3) а=2, в=3 4) х=2 –уравнение фокальной оси. Задание № 9 Дана кривая Решение : 1. Преобразуем уравнение: Пусть х-2=Х, y-5=Y, тогда уравнение примет вид:
2. Вершину параболы находим из условия: х-2=0, х=2. y-5=0, y=5 А(2;5)-вершина параболы.
3. Итак,
4. Осью симметрии параболы, имеющее вид
5. Построим параболу:
y y´
5 -1 0´ 1 x´
0 1 2
Ответ : 2) A(2;5)-координаты вершины параболы. 3) р=4. 4) х=2 – уравнение оси симметрии.
Задание № 10 Дана кривая Решение : Квадратичную форму В(x;y) = И находим её собственные числа и собственные векторы. Запишем и решим характеристическое уравнение матрицы В:
Полагая Для числа Полагая Базис От старого базиса Матрица перехода имеет вид: Старые координаты связаны с новыми
В новой системе координат уравнение данной кривой имеет вид: Отсюда действительная полуось а=1, а мнимая b=3. Произведём преобразование параллельного переноса системы координат в новое начало В системе координат ( Оси Координаты точки Фокальной осью является прямая Прямые
1 x 0 1
-3
Ответ: 2) 3) а=1 – действительная полуось в=3 – мнимая полуось 4) 2x+y-3=0 – уравнение фокальной оси. |