Основные типы уравнения плоскости в пространстве
Справочные материалы Аналитическая геометрия
Вектора
= (x2 –x1; y2–y1; z2–z1)
Длина вектора
или 
Направляющие косинусы вектора
Единичный вектор
Орт вектора 
| Скалярное произведение | Векторное произведение | Смешанное произведение |
Число
 ×  = ï ïï ïcosj
| Вектор
´ = 
| Число
|
| Свойства:
1) × = ï ï2;
2) × = 0, если ^ ;
3) × = × ;
| Свойства:
1)  ;
2)  , если ïï
| Свойства:
1) 
2)  
3)  , если вектора компланарны
|
Приложения:
Угол между векторами
Проекция вектора на вектор
| Приложения:
Площадь параллелограмма
| Приложения:
Объем параллелепипеда и пирамиды
V = 
Vпир = 
|
Прямая на плоскости
Основные типы уравнений прямых на плоскости
| Название | Уравнение | Что дано | Иллюстрация |
| Общее | Ах + Ву + С = 0 | Коэффициенты А и В – координаты нормального вектора 
| |
| С угловым коэффициентом | 
| 
угловой коэффициент k или угол наклона
|  – угловой коэффициент,
b – ордината точки пересечения прямой с осью ОУ
|
| В данном направлении | 
|  ,
угловой коэффициент k или угол наклона
| 
|
| Через две точки | 
| 
| 
|
| В отрезках | 
| Прямая отсекает на координатных осях отрезки a и b | 
|
| Перпендикулярно вектору | 
|
| – нормальный вектор
|
| Каноническое | 
|
|  – направляющий вектор
|
| Полярное | 
| р – расстояние от начала координат до прямой,  – угол отклонения перпендикуляра р от координатной оси
| 
|
| Нормальное | 
| р – расстояние от начала координат до прямой, – угол отклонения перпендикуляра р от оси ОХ
| Нормирующий множитель
(общеенормальное)
|
Основные задачи на плоскости
1. Расстояние между точками 
и 
2. Площадь треугольника с вершинами в точках , , 
3. Деление отрезка в данном отношении
4. Угол 
между прямыми 
и 
5. Параллельность и перпендикулярность прямых
6. Расстояние от точки 
до прямой 
: Ах + Ву + С = 0
Основные виды кривых второго порядка на плоскости
| Название кривой | Вид уравнения | Основные сведения о кривой | Вид кривой |
| Окружность | 
| R – радиус
Центр в точке 
| 
|
| Эллипс | 
| a – большая полуось,
b – малая полуось
Вершины эллипса А(а; 0), А’(–a; 0), В(0; b), В’(0; –b)
с – фокусное расстояние, 
Фокусы F1(c; 0), F2(–c; 0)
e – эксцентриситет, 
| 
|
| Гипербола | 
| a – действительная полуось,
b – мнимая полуось
Вершины гиперболы А(а; 0), А’(–a; 0),
с – фокусное расстояние, 
Фокусы F1(c; 0), F2(–c; 0)
e – эксцентриситет, 
Асимптоты 
| 
|
| Парабола | 
| р – параметр параболы ОХ – ось симметрии Фокус F(р/2; 0) Директриса y = –p / 2 | 
|
| р – параметр параболы ОУ – ось симметрии Фокус F(0; р/2), Директриса y = –p / 2 | 
|
Уравнение 
всегда определяет:
– окружность, при А = С,
– эллипс, при АС>0,
– гиперболу, при АС<0,
– параболу, при АС = 0.
При этом возможны случаи вырождения:
– для эллипса (окружности) – в точку или мнимый эллипс (окружность);
– для гиперболы – в пару пересекающихся прямых;
– для параболы – в пару параллельных прямых.
Прямая и плоскость в пространстве
Основные типы уравнения плоскости в пространстве