Шін Гаусс теоремасына сйкес

2. шін Гаусс теоремасына сйкес:

Жауабы:

div =0; rot ;

div = + =

grad стігі есепте шыараннан белгілі: ;

grad grad

Можно ли создать в пространстве электростатическое поле с напреженностью:

а) E =

a и b постоянные вектора.

rot ;

Жауабы: Болмайды. йткені rotE , rotE = 2a

 

Тежеуші біртекті Е электр рісінде релятивистік зарядталан блшекті е заряды мен m массасы жне бастапы энергиясы арылы блшекті бастапы жылдамдыына параллель жрген жолын l анытау керек.

Шешуі:

ш лшемді формадаы озалыс тедеуі жне энергияны саталу заы:

Осы формула блшекті туынды жылдамдыы шін олданылады.

Мндаы - блшекті кинетикалы энергиясы.

Екі тедеуді зара теестіріп, мнін аламыз.

Осыдан , онда

орыта келе,

Бесконечная плоская плита толщиной аравномерно заряжена по объему с плотностью .

Найти потенциал ?

 

Решение:Пуассон тедеуінен формуласы:

 

х=0 нктесінде =0+0+C; C=0

пластина ішіндегі потенциал.

 

1)

2) ;

Жауабы:

Сферический конденсатор с радиусами обкладок a и b заполнен диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния до центра r по закону (r)= ₀a²/r² . Показать, что емкость такого конденсатора равна емкости плоского конденсатора, заполненного однородным диэлектриком с проницаемостью ₀ , у которого площадь обкладки 4 a², расстояние между обкладками b – a (краевым эффектом пренебречь).

 

 

Шешуі:

(r)= ₀a²/r² s= 4 a²

 

1) C =

 

 

йткені, сондытан D_n=D

 

D*4 ²=

 

D=q/r²

 

E= = Dr²/ ₀a² =qr²/r² ₀a²=q/ ₀a²

₀a² dr =q/ ₀a²(b-a) C= ₀a²/q(a-b)

 

 

2) C = E=D/ ₀

 

 

D*4 ²=

 

D=q/a² E=q/ ₀a²

 

(b-a) C= ₀a² /q(a-b)

 

Жауабы: C= ₀a² /q(a-b)

Плоскость z = 0 заряжена с плотностью меняющейся по периодическому закону , где , , – постоянные. Найти потенциал этой системы зарядов.

 

азаша:

Берілгені:

z = 0 жазытыы тыыздыы болатын периодты заымен згереді. Осы зарядтар жйесіні потенциалын табу керек. Мндаы , , – тратылар.

 

Шешуі:

потенциалы Лаплас тедеуін анааттандырады:

 

(1)

 

Зарядтадан жазытыта электр рісіні нормаль раушысы:

 

(2)

 

клемдік тыыздыы райсысы x жне y координаталарына туелді болатын екі функцияны туындысы боландытан, (1) тедеуді шешімін мына трде іздейміз:

 

(3)

 

(3) функциясын (1) тедеуге ойып, р осылышты -а блеміз:

 

(4)

 

(4) тедеуі барлы координатасын анааттандыру шін р осылыш шін траты шама енгіземіз. Яни,

 

болсын. Берілген тедеуді жалпы шешімі мына функция болып табылады:

 

 

мтыланда, шексіздікке мтылмауы ажет, себебі ріс айнымалы табалы зарядтардан ралады. Бл шартпен мына шешімді анааттандыра аламыз:

.

, .

 

Бл екі тедеуді шешімі – гармоникалы функциялар. (2) гармоникалы шартты анааттандыру шін, былай алуымыз керек:

 

, ; ,

Сонда, . Сонымен:

 

.

 

Электр рісіні нормаль раушысы . Сондытан

 

,

.

Осы мнді (2) тедеуге ойып, екенін табамыз. Соында потенциал айырымы мына трге келеді:

,

 

мндаы .

 

Жауабы:

Бірінші ортада векторыны кш сызытары нормаль баытымен ₁ брыш райды. Екінші ортадаы рісіні кш сызытарыны бадарын табыыз.

Шешуі:

Шекаралы шарттарды пайдаланайы.

,

немесе

,

Бірінші тедеуді екіншіге блейік:

яни,

.

Егер ₂ , онда ₂ /2, яни бірінші ортадаы электр рісіні баытына туелсіз екенін айта кеткені жн.

 

Жауабы: .

Интеграл по обьему преобразовать интеграл по поверхности.

бдан Остр-Гаусс теоремасы бойынша

 

б) через сферу

 

1.

(сфера шін )

 

2.