Расстояние от точки до прямой

Найдем расстояние от точки M1(x1,y1) до прямой Ax + By + C = 0.

Возьмем на прямой произвольную точку M0(x0, y0). Тогда расстояние d будет равно

n

М1

d d = прn M0 M1 .

М0

 

M0M1 = {x1 – x0, y1 – y0}, n = {A, B}. (M0M1∙ n) = A(x1 – x0) + B(y1 – y0).

Но, т.к. точка М0 лежит на прямой, то

–Ax0 – By0 = C. Следовательно,

Модуль ставится ввиду того, что правая часть может быть отрицательна, если точка М1 и начало координат расположены по одну сторону от прямой.

П р и м е р 1. Дана прямая 2x - 3y +5 = 0 и точка М0(1, -2). Найти уравнение прямой, проходящей через точку М0 а) параллельно данной прямой, b) перпендикулярно данной прямой.

a) A(x – x0) + B(y – y0) = 0. n = {A, B} = {2, -3},

2(x – 1) -3(y + 2) = 0, 2x -3y – 5 =0 – уравнение прямой, параллельной данной.

s = {m, n} = n = {2, -3}
- уравнение прямой, перпендикулярной данной.

 

П р и м е р . Даны координаты вершин треугольника АВС. А(6 ,2), В(30, -5), С(12, 19). Найти:

 

  1. длину стороны ВС,
  2. уравнение линии ВС,

3. уравнение высоты, проведенной из точки А,

4. вычислить длину этой высоты.

1. ВС = {-18, 24} = s – направляющий вектор стороны ВС.

| BC| =

 

  1. Уравнение стороны ВС

 

24x + 18y – 630 = 0, 4x + 3y – 105 = 0.

 
 


3. BC = n – нормальный вектор высоты АН.

-18 (x – 6) + 24(y -2) = 0, -18x + 24y + 60 = 0,

3x - 4y – 10 = 0 – уравнение высоты АН.

 

4. длина высоты АН

 

Кривые второго порядка.


Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 – общее уравнение кривой второго порядка.

А, В, С ≠ 0 одновременно.

Примером уравнения кривой второго порядка является уравнение окружности.

(x – a)2 + (y – b)2 = R2 или x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0.

Свойства:

  1. коэффициенты при х2 и у2 одинаковы,
  2. отсутствует член с ху.

Познакомимся с другими кривыми второго порядка.

 

Эллипс.

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a.

F1M + F2M = 2a - уравнение эллипса. F2F1 = 2c - фокусное расстояние. 2a > 2c, a > c.

упрощая, получим каноническое уравнение эллипса:

Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = Оси координат являются осями симметрии эллипса. Пусть x ≥ 0, y Тогда

ymax= b при х = 0. При возрастании х от 0 до a у убывает от bдо 0.

Гипербола.

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a.

F2M – F1M = . Обозначим F2F1 = 2c, 2a < 2c, a < c.

Точки пересечения с осями координат - y = 0, x = .

 

x = 0 – точек пересечения с осью оу нет.

Оси координат являются осями симметрии гиперболы

 

 

Пусть x ≥ 0, y ≥ 0. . Отсюда |x| ≥ a .

ymin= 0 при x = a, у возрастает при возрастании х. Прямые

называются асимптотами гиперболы. − сопряженная гипербола.
Парабола.

Параболойназывается геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом и от данной прямой, называемой директрисой.

 

MF = MD, KF = p, Другие виды параболы

y2 = 2px -каноническое уравнение параболы. y2 = -2px x2 =2py x2 = -2py

Ох – ось симметрии, x ≥ 0, .