Уравнение линии как геометрического места точек. Различные виды уравнений прямой. Исследование общего уравнения прямой. Построение прямой по ее уравнению

Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Теоретический курс.

Координаты точки на прямой и плоскости. Расстояние между двумя точками

Расстояние d между точками A(x₁) и B(x₂) на оси:

Величина AB (алгебраическая) направленного отрезка на оси:

AB = x₂ - x₁.

Если известны координаты концов отрезка прямой, то тем самым положение отрезка на плоскости вполне определено. Координаты точки записываются в скобках рядом с названием точки, причем всегда на первом месте в прямоугольной системе координат записывается абсцисса точки, а на втором - ее ордината. Например, если x₁ - абсцисса точки A, а y₁ - ее ордината, то это записывается так: A(x₁, y₁).

У точки, лежащей на оси абсцисс, ордината равна нулю; у точки, лежащей на оси ординат, абсцисса равна нулю. Обе координаты начала координат равны нулю.

Расстояние d между точками A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) плоскости определяется по формуле:

Проекции на оси координат направленного отрезка, или вектора на плоскости с началом A(x₁, y₁) и концом B(x₂, y₂):

Тангенс угла между отрезком и положительным направлением оси Ox определяется по формуле (этот угол отсчитывается от оси Ox против часовой стрелки):

Определенный по этой формуле является угловым коэффициентом прямой.

Деление отрезка в заданном отношении. Координаты середины отрезка. Определение площади треугольника по известным координатам его вершин. Площадь многоугольника

1. Если x₁ и y₁ - координаты точки A, а x₂ и y₂ - координаты точки B, то координаты x и y точки C, делящей отрезок AB в отношении , определяются по формулам

Если , то точка C(x, y) делит отрезок AB пополам, и тогда координаты x и y середины отрезка AB определяются по формулам

2. Площадь треугольника по известным координатам его вершин A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) вычисляется по формуле

Полученное с помощью этой формулы число следует взять по абсолютной величине.

3. Площадь многоугольника с вершинами A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃), ..., F(x_n, y_n) равна

Выражение вида равно x₁y₂ - x₂y₁ и называется определителем второго порядка.

Уравнение линии как геометрического места точек. Различные виды уравнений прямой. Исследование общего уравнения прямой. Построение прямой по ее уравнению

Уравнением линии называется уравнение с переменными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и только они.

Входящие в уравнение линии переменные x и y называются текущими координатами, а буквенные постоянные - параметрами.

Чтобы составить уравнение линии как геометрического места точек, обладающих одинаковым свойством, нужно:

1) взять произвольную (текущую) точку M(x, y) линии;
2) записать равенством общее свойство всех точек M линии;
3) входящие в это равенство отрезки (и углы) выразить через текущие координаты точки M(x, y) и через данные в задаче.

В прямоугольных координатах уравнение прямой на плоскости задается в одном из следующих видов:

Далее ⇒