МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Аналитическая геометрия
Пример 1.
В треугольнике с вершинами ,
,
проведена высота
. Написать уравнение этой высоты.
Решение.
Напишем уравнение стороны ,
или . Откуда определяем нормальный вектор
прямой
, который является направляющим вектором для высоты
.
Составим уравнение прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору
:
, или
.
Ответ: .
Пример 2.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и
параллельно прямой
.
Решение.
Найдем точку пересечения прямых
и
, решая систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
.
Искомая прямая параллельна прямой . Следовательно, направляющим вектором искомой прямой может быть выбран вектор
. Таким образом, прямая, проходящая через точку
параллельно направляющему вектору
, может быть записана в виде
.
Ответ: .
Пример 3.
Написать уравнение прямой , параллельной двум заданным прямым:
,
, и проходящей посередине между ними.
Решение.
Так как вектор , нормальный к заданным прямым
и
, является в то же время нормальным вектором и к прямой
, то достаточно найти какую-нибудь точку
, лежащую посередине между
и
. Из уравнений:
,
.
Тогда точка , делящая отрезок
пополам, лежит посередине между
и
. Находим координаты точки
:
.
Поэтому уравнение прямой , проходящей через точку
перпендикулярно нормальному вектору
имеет вид:
.
Ответ: .
Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости
.
Решение. Искомую плоскость обозначим через . Тогда их нормальные векторы параллельны. Поэтому нормальный вектор
плоскости
можно принять за нормальный вектор искомой плоскости
. Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно нормальному вектору
примет вид:
или
.
Ответ: .
Пример 5. Написать уравнение плоскости , проходящей через точки
и
параллельно вектору
.
Решение. Так как вектор не коллинеарен вектору
, то задача имеет единственное решение. Выберем произвольную точку
и найдем вектор
. Таким образом,
, или
.
Ответ:
Пример 5. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой
.
Решение. За направляющий вектор искомой прямой можно принять направляющий вектор
. Тогда, используя уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно направляющему вектору
, получим
.
Ответ: .
Пример 6. Заданы скрещивающиеся прямые и
. Найти расстояние
между этими прямыми.
Решение.
Найдем уравнение плоскости
проходящей через прямую
параллельно прямой
.
В качестве нормального вектора к этой плоскости Р, возьмем вектор где
- направляющие векторы прямых
и
. Следовательно,
.
Уравнение плоскости Р:
Расстояние равно расстоянию от любой точки прямой
, например, точки
, до плоскости Р. Нормальное уравнение плоскости имеет вид:
.
Откуда
Ответ:
Пример 7.Найти точку, симметричную с началом координат относительно плоскости
Решение.
1. Напишем уравнение прямой перпендикулярной плоскости Р, используя каноническое уравнение прямой:
где
- направляющий вектор прямой. В качестве
- нормальный вектор плоскости Р. Следовательно:
2. Найдем точку пересечения с плоскостью Р:
3. Отрезок делится в точке
пополам. Следовательно, если
то
Ответ:
Пример 8. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что фокус параболы находится в точке
Решение.
Если , то фокус параболы находится на оси
, причем левее начала координат. Уравнение параболы имеет вид
.
Таким образом, .
Ответ: .
Пример 9.Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что он проходит через точки и
.
Решение. Возьмем каноническое уравнение эллипса и вместо текущих координат подставим координаты точек
и
. Получим систему уравнений:
.
Определим параметры эллипса и
, решая систему уравнений. Обозначив
,
сведем данную систему к следующей системе:
.
Следовательно, искомое уравнение эллипса будет .
Ответ: .
Пример 10. Написать уравнение гиперболы с асимптотами , проходящими через точку
. Найти расстояние между ее вершинами.
Решение. Так как точка лежит на гиперболе, то ее координаты должны удовлетворять каноническому уравнению:
, т.е. уравнению
.
Кроме того, из уравнений асимптот гиперболы имеем .
Решая полученную систему двух уравнений:
,
т.е. уравнение гиперболы имеет вид .
Расстояние между вершинами определяем из условия: .
Ответ: ;
.
Пример 11. Дана гипербола . Найти эллипс, фокусы которого совпадают с фокусами данной гиперболы, проходящей через точку
.
Решение. Обозначим параметры данной гиперболы через ,
,
и найдем их, приведя уравнение гиперболы к каноническому виду:
.
Так как по условию фокусы искомого эллипса и данной гиперболы совпадают, то для эллипса .
Рассмотрим каноническое уравнение эллипса и подставим в него координаты точки
:
.
Ответ: .
Пример 12. Установить, что плоскость пересекает эллипсоид
по эллипсу, найти его полуоси и вершины.
Решение. Сечение эллипсоида плоскостью определяется системой:
т.е. является эллипсом.
Полуоси полученного эллипса равны:
.
Вершинами эллипса являются точки
;
;
;
.
Ответ: ;
;
;
;