Действия над непрерывными функциями. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва непрерывных функций
Общие свойства непрерывных функций, заданных в промежутке [а, b], определяются четырьмя теоремами: двумя теоремами Больцано— Коши и двумя теоремами Вейерштрасса.
первая теорема Больцано-Коши. Пусть функция f{x) определена и непрерывна в [a, b]. Тогда, если f(a)* f(b) < 0, то (а, Ь): т = 0.
Доказательство. Пусть, для определенности, f (a) < 0 uf{b) > 0. Обозначим [a, b] как [a, b] и разделим его пополам. Тогда в точке a0+b0/2 либо f(х) обратится в нуль, и теорема будет доказана, либо на одной из половин отрезка знаки функции в концевых точках останутся различными. Выберем эту половину и обозначим ее [a1, b1]. Далее продолжим процесс деления [a1, b1] пополам. В точке a1+b1/2 либо получим нулевое значение f(х), либо на одной из половин[a1, b1] функция будет иметь разные знаки на концах. В первом случае теорема подтвердится, во втором - образуется новый отрезок, который обозначим [а2, b2]. В дальнейшем данная процедура либо прервется, если на одной из середин делимых отрезков получим нулевое значение f(х), либо образуется бесконечная последовательность вложенных промежутков [аn , bn] длиной ln = bn – an = l0/2n= b0 – a0/2n
При возрастании п длина ln --> 0 и по лемме Кантора точки аn и bn образуют две сходящиеся к общему пределу последовательности: , тк
и
В соответствии с выбором при n f(ап) < 0 и f(bп) > 0, поэтому
C другой стороны, в точке с и
Поэтому f(c)
вторая теорема Больцано—Коши. Пусть функция f(х) определена и непрерывна в [а, b]. Тогда, если f(а)≠ f(b), то при М), где т = min {f(a), f{b)}, М = max {f(a), f(b)},
(а, b): f(
)= С.
Доказательство. Построим композицию g(x) =/(х) — С. , что g (х) непрерывна в [а, Ь], так как f{x) и С непрерывны. Кроме того, g(a) g(b) < 0, так как f(a) — С и аf(b)-C в силу выбора С имеют разные знаки. Поэтому (а, b): g(
)= С. Отсюда f(
)-С=0 или f(
)= С.
первая теорема Вейерштрасса. Пусть функция f(х) определена и непрерывна в [a, b]. Тогда f(х) является ограниченной.
Доказательство. Предположим противное: функция не ограничена сверху или снизу. Примем для определенности, что f(х) не ограничена сверху, т. е. для > п. Последовательность {хл} c [a, b] является ограниченной. Выделим из {хл} сходящуюся подпоследовательность {хn}:
, где с
[а, b]. В точке с функция f(х) непрерывна, т. е.
Однако это невозможно, тк f >
uf
-f (с) при возрастании
является бесконечно большой, а не бесконечно малой величиной. По аналогии обосновываем ограниченность снизу.
вторая теорема Вейерштрасса. Пусть функция f(х) определена и непрерывна в [а, b]. Тогдаf(х) имеет минимум и максимум в этом промежутке. Доказательство.Примем противное: f(x),оставаясь ограниченной, не достигает нижней или верхней грани. Для определенности предположим, что f(x)≠ sup {f}. Составим функцию g(x) =1/М – f(x), где M=sup[a,b]{f}. По условию М — f(x) > 0 для s w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="18"/><w:sz-cs w:val="18"/></w:rPr><m:t>a,b</m:t></m:r></m:e></m:d><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="18"/><w:sz-cs w:val="18"/></w:rPr><m:t>. </m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> Функция g(х) непрерывна (по теореме о композиции непрерывных функций) в [a,b]. Поэтому
Обе части неравенства положительны, и его можно обратить:
Последнее неравенство невозможно, так как М - не является верхней гранью. Доказательство для случая нижней грани аналогично.
Билет №15