Р е ш е н и е. Здесь нужно решать смешанную задачу
методом разделения переменных, полагая u(x,t)=X(x) T(t).
Тогда 
и из граничных условий найдем
Собственные значения и собственные функции определяются из задачи
поэтому на этот раз смешанная задача решается рядом с неопределенны-
ми коэффициентами:
Подставляя этот ряд в начальное условие, будем иметь
и следовательно окончательный ответ будет иметь вид
194. Дан однородный шар радиуса b, центр которого расположен в начале координат. Внешняя поверхность шара поддерживается при нулевой температуре, а начальная температура 
Опреде-
лите температуру u(r,t) внутри шара при t>0.
Р е ш е н и е. Поставленная задача равносильна смешанной задаче
Следуя схеме метода Фурье, полагаем u(r,t)=R(r)T(t)и после подстанов-ки в уравнение получим
Из граничных условий будем иметь
Следовательно, нужно решать задачу Штурма 
Лиувилля
При решении уравнения 
найдем
и тогда пишем ряд с неопределенными коэффициентами
В силу начального условия будем иметь
и стало быть ответ в задаче имеет вид
195. Найдите распределение температуры в однородном шаре радиуса b, внутри которого при t³0 действует источник тепла с постоянной плот- ностью q, а его поверхность поддерживается при нулевой температуре. Начальная температура во внутренних точках шара равна нулю.
Р е ш е н и е. Здесь нужно иметь дело со смешанной задачей:
Функция 
есть решение дифференциального урав- нения, удовлетворяющее граничным условиям, поэтому после замены
относительно новой функции v(r,t) придем к смешанной задаче
которая несущественно отличается от задачи 194. В итоге окончательно получим ответ:
196. Найдите решение смешанной задачи
Р е ш е н и е. Непосредственно проверяется, что функция w=t(x+1) удовлетворяет уравнению и граничным условиям
поэтому после замены u(x,t)=v(x,t) + t(x+1) относительно новой функции v(x,t) получим смешанную задачу
решение которой находится в виде ряда по собственным функциям зада- чи Штурма Лиувилля:
Подставляя ряд 
в уравнение, будем иметь
К полученным дифференциальным уравнениям для функций 
нужно присоединить условие 
.Получим семейство задач Коши:
откуда находим 
Для четных k=2m все 
будут равными нулю, и, следовательно, придем к отве- ту:
где 
197. Сфера радиуса b содержит растворенное вещество с начальной концентрацией u0 . Концентрация на поверхности сферы поддерживается постоянной, равной u1>u0. Найдите количество абсорбированного вещества в момент времени t>0.
198. Решите задачу об остывании однородного стержня длиной l с тепло- изолированной боковой поверхностью, если его начальная температура u(x,0)=l-x, концевая точка x=0 теплоизолирована, а x=l поддерживается при постоянной температуре.
199. Дан тонкий однородный стержень длиной l, начальная температура которого равна нулю. На конце x=l поддерживается нулевая темпера- тура, а на конце x=0 температура растет линейно со временем, так что u(0,t)=At, где A – константа. Найдите распределение температуры u(x,t) при t>0.
Решите следующие смешанные задачи
201. 
202. 
203. 
204. 
205. 
206. 
224. 
225. 
§ 7. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
И РЕШЕНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО
И ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПОВ
Дифференциальное уравнение 2-го порядка
(65)
принято называть уравнением Бесселя порядка v или уравнением цилин- дрических функций. Здесь 
есть произвольное действительное или ком-плексное число, 
Если 
, то общее решение уравнения (65) есть линейная комбина- ция
(66)
где 
и 
называются соответственно цилиндрическими функ- цииями Бесселя первого и второго рода, для которых имеются представ- ления в виде рядов
Если v=n, n=0,1,2,… , то функция Jn(x) и J-n(x) линейно зависимы, что можно установить посредством соотношений (67),(68). В этих обстоят- ельствах для представления общего решения употребляются цилиндриче- ские функции Вебера-Неймана:
Функция Nn(x) линейно независима от Jn(x), для нее имеется представ-
ление в виде ряда
из которого видно, что функция Вебера-Неймана не ограничена в окрест- ности точки х=0. Вместо соотношения (66) при v=n общее решение урав- нения (65) берется в виде
(70)
Цилиндрические функции Бесселя с соседними индексами и их произ- водные связаны между собой рекуррентными соотношениями
Отметим важный частный случай второй из формул (71) при v=0
(72)
Третье из соотношений (72) может быть записано в интегральной форме
(73)
Наиболее часто употребляются цилиндрические функции с целыми
индексами J0(x), J1(x), …, Jn(x), …, а также положительные нули этих функций. Всякое уравнение Jn(x)=0 имеет счетное множество положи- тельных корней:
или, что то же самое, функция Jn(x)имеет счетное множество положи- тельных нулей. Приведём вычисленные с точностью до четырех десятич- ных знаков значения первых шести нулей функции J0(x):
Вспомним, что если коэффициент k(х) обращается в нуль при х=0, то появляется так называемый особый случай постановки задачи Штурма Лиувилля (сравните (61 62)):
(74)
Уравнение (65) может быть записано в эквивалентной форме:
(75)
и естественно, что оно соответствует особому случаю постановки крае-вых задач, когда k(x)=x, k(0)=0.
Простейшая краевая задача для уравнения Бесселя возникает при изу- чении собственных колебаний круглой мембраны:
Здесь k(r)=r и весовая функция p(r)=r. Чтобы ее решить, полагаем x=λr, где x новая независимая переменная. Тогда
и уравнение (76) приводится к уравнению Бесселя
Общее решение этого уравнения представим формулой (70), а после возвращения к переменной r получим общее решение уравнения (76) в виде
(78)
Из (77) и (79) ясно, что Jn(0)=0, Nn(0)=∞, поэтому выполнимость первого из граничных условий (77)
означает, что С2=0.Тогда полагаем С1=1, и со второго граничного усло- вия находим собственные значения
Соответственно из (78) найдем собственные функции
(79)
Найденные собственные функции образуют ортогональную систему с весом r на отрезке [0,l], т.е. выполнено условие ортогональности
и можно рассматривать ряды Фурье по системе (79):
Квадрат нормы собственной функции вычисляется точно и имеет значение
(80)
Отметим также частный случай (см. (42))
(81)
Довольно часто встречается и вторая краевая задача для уравнения Бесселя
И на этот раз общее решение уравнения (82) может быть записано в ви-
де (78), снова получим С2=0 и С1=1, а собственные значения будут определяться из условия
где через 
обозначены положительные нули производной 
Собственные функции задачи (82 83) будут записаны в виде
они образуют ортогональную систему с весом r на [0, l], а квадрат нормы
229. Решите задачу о свободных колебаниях однородной круглой мемб- раны радиуса l, закрепленной по краю, если начальная скорость равна ну- лю, а начальное отклонение 
Р е ш е н и е. Здесь нужно решать смешанную задачу
по методу Фурье, полагая 
После подстановки в дифференциальное уравнение и разделения переменных придем к равенству
Из условия 
найдем R(l)=0, а второе условие как в особом случае 
поэтому придем к задаче Штурма Лиувилля:
Вводя новую переменную 
будем иметь
и его общее решение (см.(35))
Возвращаясь к переменной r, получим общий вид радиальной функции:
Из условия 
найдем
тогда полагаем 
откуда
Для временной функции T(t) имеем дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
и его решение есть линейная комбинация
Умножая ее на собственную функцию и суммируя по всем k , получим ряд
Из второго начального условия получим
Первое начальное условие приводит к равенству
откуда с учетом (81) найдем (см.также (73))
Подставляя найденные коэффициенты в ряд, придем к ответу
где 
положительные корни уравнения J0(x)=0.
230 Решите задачу о свободных колебаниях круглой мембраны радиуса l, закрепленной по краю и колеблющейся в среде, сопротивление которой пропорционально скорости, если 
Р е ш е н и е. Здесь нужно решать смешанную задачу
методом Фурье, полагая u(r,t)=R(r)T(t). Тогда после разделения перемен-
ных в дифференциальном уравнении
С учетом граничных условий придем к задаче Штурма Лиувилля для
радиальной функции
и ее собственные значения и собственные функции, как и в предыдущей задаче, соответственно равны
Дифференциальное уравнение для временной функции при малом h
имеет решение
Составляем ряд
и подставляя его в начальное условие 
придем к равенству
Из второго граничного условия вытекает, что
В итоге придем к ответу
231. Уравнение малых продольных колебаний нити, подвешенной в кон- цевой точке x=l и колеблющейся под действием силы тяжести, имеет вид
Найдите u(x,t) при t>0если
Р е ш е н и е. Здесь возникает смешанная задача
Полагая u(x,t)=X(x)T(t) придем к соотношению
С учетом граничных условий, придем к задаче Штурма Лиувилля
ее собственные функции ортогональны с единичным весом на [0, l]. Вве- дя новую переменную 
, найдем
соответственно преобразуется и задача Штурма Лиувилля
а ее собственные значения и собственные функции соответственно бу- дут
Дифференциальное уравнение для временной функции
имеет решение
поэтому составляем ряд
Подставляя его в первое начальное условие, найдем
причем для интеграла, стоящего в знаменателе, верно равенство
следовательно, окончательно имеем
Из второго начального условия вытекает, что Bk=0, поэтому в ответе получим
232.Круглая однородная мембрана радиуса l закреплена по краю, нахо- дится в состоянии равновесия при натяжении Т0. Найдите отклонение мембраны u(r,t) от положения равновесия, если к ней прилагается равно- мерно распределенная нагрузка 
Р е ш е н и е. Текстовая задача равносильна смешанной задаче
Найдем решение имеющегося дифференциального уравнения в виде
Относительно v( r ) будем иметь обыкновенное дифференциальное урав- нение
частным решением которого будет, что нетрудно проверить, функция
и это частное решение удовлетворяет граничным условиям
