![]() |
![]() |
Категории: АстрономияБиология География Другие языки Интернет Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Механика Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Транспорт Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника |
матрица размера , называется вектор-столбцом свободных членовНазываются коэффициентами системы, - свободными членами. 2. Решением системы(1) называется набор чисел Система (1) называетсясовместной,еслиона имеет хотя бы одно решение. Система (1) называетсянесовместной,если онане имеет ни одного решения. Пример 1. Система уравнений Эта система совместна, т.к. набор чисел Пример 2. Система
Линейная система (1) эквивалентна матричному уравнению
где
матрица размера , называется вектор-столбцом свободных членов. Запись системы (1) матричным уравнением (2) называется матричным представлением линейной системы. Пример 3.Записать заданные две линейные системы в матричном виде. 1) Решение. 1) где 2) где
Особую роль среди систем (1) играют системы, у которых число уравнений (число
Такие системы называются линейными квадратными системами или системами матрица системы вектор-столбец неизвестных Определитель Например, система уравнений из примера 2 является вырожденной, т.к. эта система – система второго порядка, и ее главный определитель
4.2. Решение невырожденных систем по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Перейдем к рассмотрению двух важных методов решения линейных невырожденных систем. Это - метод Крамера и матричный метод.
Метод Крамера вытекает из следующей теоремы. Если главный определитель системы (3) отличен от нуля, то система имеет только одно решение, и это решение можно найти по формулам где
Пример 4. Решить методом Крамера систему Решение. Найдем главный определитель системы.
Следовательно, заданная система невырождена и имеет только одно решение. Найдем его по формулам Крамера. Для этого вычислим вспомогательные определители 1)
2)
2)
Согласно формулам Крамера (4) получаем
Проверка:
Пример 5. Решить методом Крамера систему Решение. 1) 2) 3) Ответ.
Замечание. Если система линейных уравнений (3) вырождена, то метод Крамера не применим. Исследование вырожденных систем проводится другими методами (например, методом Гаусса, изучаемым на занятии 5). Пока же отметим, что вырожденная система либо несовместна, либо имеет более одного решения. Например, вырожденная система вырожденная система
Матричный метод решения невырожденных линейных систем, который еще называют методом решения систем с помощью обратной матрицы, заключается следующем. 1. Представим систему (3) матричным уравнением 2. Найдем матрицу 3. Умножив слева уравнение
Если система (3) вырождена, то матрица
Пример 6. Решить матричным методом систему из примера 4. Решение. 1. Заменим систему матричным уравнением
2. 3. Находим решение по формуле (5). Таким образом выводим:
Матричный метод применим (помимо невырожденных линейных систем) при решении следующих матричных уравнений: 1) В случае 2) В случае Ответ: 3) В случае
Пример 7. Решить матричное уравнение Решение. Дано уравнение
Пример 8. Решить матричное уравнение Решение. Дано уравнение
Неизвестную матрицу
Пример 9. Решить уравнение Решение. Имеем матричное уравнение
Проверка. Подставим найденную матрицу
_____________________________________________________________________________________
Домашнее задание. 1. Решить систему а) с помощью правила Крамера; б) с помощью обратной матрицы.
2. Решить следующие матричные уравнения:
|