![]() |
![]() |
Категории: АстрономияБиология География Другие языки Интернет Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Механика Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Транспорт Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника |
Если в ходе проведения метода Гаусса появляются невыполнимые равенства типа и т.д., то исследуемая линейная система несовместнаЕще один совет: элементарные преобразования системы будут выполняться проще, если с помощью этих преобразований добиваться, чтобы коэффициенты Общее решение системы (2) находится так: свободным неизвестным присваивают произвольные числовые значения; затем, последовательно двигаясь от последнего уравнения системы (2) вверх к первому уравнению, определяют базисные неизвестные в порядке Приведем конкретные примеры применения метода Гаусса к линейным системам
Пример 2. Найти общее решение системы Решение. Применим метод Гаусса. 1. Поменяем местами первое и второе уравнения, получим эквивалентную систему
2. С помощью первого уравнения исключим неизвестную а) прибавим во 2-му уравнению 1-е уравнение, умноженное на число б) к 3-му уравнению прибавим 1-е уравнение. В результате получим систему
3. Два последних уравнения системы Чтобы упростить последующие преобразования сделаем коэффициент
4. Теперь, в системе В итоге получим систему треугольного вида
В ней 5. Теперь из системы Для облегчения последующих вычислений положим Из 2-го уравнения находим Наконец, из 1-го уравнения находим Таким образом, получен следующий результат: система
Проведем проверку. Для этого подставим найденные выражения
Проверка подтвердила истинность решения
Обычно для сокращения записей метод Гаусса проводят на расширенных матрицах системы. Расширенной матрицей системы называют матрицу
1). Операция «перестановка уравнений системы» означает перестановку соответствующих строк расширенной матрицы. 2). Операция «перестановка поменять местами слагаемых с двумя выбранными неизвестными» означает перестановку соответствующих столбцов матрицы 3). Операция «умножение уравнения на число, отличное от нуля» означает умножение на это число соответствующей строки расширенной матрицы. 4). Операция «прибавление к уравнению системы другого уравнения, умноженного на число» означает аналогичную операцию над строками расширенной матрицы.
Изложение метода Гаусса в примере 2 с применением расширенных матриц запишется в виде.
~ Внизу, справа под матрицами указаны выполняемые над системой элементарные операции, выполненные над системой: 1. Переставили местами 1-е и 2-е уравнения. 2. Прибавили ко 2-му уравнению 1-е, умноженное на число ( Прибавили к 3-му уравнению 1-е. 3. Прибавили ко 2-му уравнению 3-е, умноженное на число ( 4. Прибавили к 3-му уравнению 2-е, умноженное на число ( Далее находится общее решение системы (см пункт 5. решения примера 2).
Пример 3. Найти методом Гаусса общее решение системы
Решение проведем с использованием расширенных матриц.
1. Переставили местами 1-ю и 3-ю строки. 2. Прибавили ко 2-й строке 1-ю строку, умноженную на число 2. Прибавили к 3-й строке 1-ю строку, умноженную на число ( Прибавили к 4-й строке 1-ю строку, умноженную на число ( Прибавили к 5-й строке 1-ю строку, умноженную на число ( 3. Прибавили 2-ю строку к 3-й строке. Прибавили 2-ю строку к 4-й строке. ~ 4. Прибавили к 5-й строке 4-ю строку, умноженную на число ( 5. Отбросили 3-ю и 5-ю нулевые строки (они эквивалентны равенству Переставили местами 3-й и 4-й столбцы и над столбцами написали соответствующие неизвестные.
Положим
Ответ. Система
Пример 4. Найти методом Гаусса общее решение системы Решение.
~ 1. Прибавили 2-ю строку к 1-й строке. 2. Прибавили ко 2-й строке 1-ю строку, умноженную на 2. Прибавили к 3-й строке 1-ю строку, умноженную на ( 3. Прибавили к 3-й строке 2-ю строку, умноженную на 2.
Наличие в полученной системе невыполнимого равенства ___________________________________________________________________________________
Домашнее задание. Решить методом Гаусса следующие системы (или доказать несовместность): 1) |