Краткие сведения из теории автоматического управления
Цель работы
Целью данной работы является:
Ø изучение основных видов описания типовых динамических звеньев линейных систем автоматического регулирования: передаточными функциями, переходными и частотными характеристиками, весовыми функциями, корневыми годографами;
Ø исследование статических, динамических и частотных характеристик инерционного звена второго порядка;
Ø изучение взаимной связи между различными видами описания инерционного звена второго порядка;
Ø исследование влияния параметров передаточной функции инерционного звена второго порядка на его статические и динамические свойства.
Задание
1. Исследовать влияние параметров передаточной функции инерционного звена второго порядка на переходную, амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики.
2. Построить переходную, логарифмические амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики (ЛАХ и ФЧХ), амплитудно-фазовую характеристику (годограф, или АФЧХ) и амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) в линейном масштабе инерционного звена второго порядка для различных значений параметров передаточной функции при помощи программного комплекса МВТУ.
3. Сформулировать и записать в отчет выводы о влиянии параметров передаточной функции инерционного звена второго порядка на его статические и динамические свойства и на частотные характеристики.
Краткие сведения из теории автоматического управления
Инерционным звеном второго порядка (колебательным звеном) называют элементы, процессы в которых описываются дифференциальным уравнением второго порядка
(1)
или в операторной форме
(T22s2+ T1s + 1)zвых(t) = Kх(t)
Отсюда передаточная функция инерционного звена второго порядка
(2)
где К – статический передаточный коэффициент; Т1, Т2 – постоянные времени звена.
Встречается в литературе и другая запись передаточной функции инерционного звена второго порядка (такая запись используется в программном комплексе МВТУ):
, (3)
где К – статический передаточный коэффициент; Т – постоянная времени звена, x - коэффициент затухания колебаний (в программе обозначен как b).
Нетрудно установить связь между параметрами К, Т, Т1, Т2 и x этих передаточных функций. Для этого достаточно приравнять множители при одинаковых степенях s в числителе и знаменателе и получить:
1) статические передаточные коэффициенты передаточных функций (2) и (3) строго равны друг другу;
2) постоянная времени Т в передаточной функции (3) равна постоянной времени Т2 в записи (2);
3) постоянная времени Т1 в передаточной функции (2) связана с постоянной времени Т в передаточной функции (3) соотношением
.
В общем случае передаточная функция на основании общего вида уравнения движения САР может быть представлена в виде отношения многочленов от s:
(4)
Связь между параметрами передаточной функции вида (2) и коэффициентами многочленов числителя и знаменателя в выражении (4) можно получить, приравнивая правые части выражений для передаточной функции. Тогда для инерционного звена второго порядка будем иметь:
Ниже при описании свойств колебательного звена используется передаточная характеристика вида (2).
Переходную характеристику инерционного звена второго порядка можно определить на основании общего решения дифференциального уравнения второго порядка (1):
(5)
Корни характеристического уравнения l1 и l2, представляющего собой знаменатель передаточной функции (2)
T22s2 + T1s + 1 = 0
определяются соотношением для обычного квадратного уравнения:
(6)
Постоянные интегрирования определяются из начальных условий:
при t = 0 h(t) = 0; dh/dt = 0. С учетом начальных условий можно получить для постоянных интегрирования два уравнения:
С1 + С2 = 0, (7)
l1С1 + l2С2 = 0.
Из системы уравнений (7) находятся обе постоянные интегрирования.
Следовательно, переходная функция инерционного звена второго порядка будет выражаться уравнением
(8)
В зависимости от соотношения постоянных Т1, Т2 корни характеристического уравнения l1, l2 могут принимать различные значения. Поэтому характер переходного процесса также будет зависеть от соотношения постоянных времени Т1, Т2.
Характер переходного процесса можно оценить коэффициентом затухания колебаний (иногда называется коэффициентом демпфирования):
На основании сравнения передаточных функций колебательного звена вида (2) и вида (3) нетрудно получить, что величина x, используемая в записи передаточной функции (3) строго равна d0, т.е. d0 = x.
С использованием d0 корни характеристического уравнения могут быть представлены в виде
Если d0 > 1, т.е. (Т1 > 2T2), то корни характеристического уравнения вещественные отрицательные:
 |
Характер переходного процесса будет апериодический.
Если d0 < 1, т.е. (Т1 < 2Т2) корни характеристического уравнения будут комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью.
Переходная функция инерционного звена второго порядка для рассматриваемого вида корней будет представлена уравнением
(7)
Где
Переходная функция (характеристика) имеет колебательный характер (затухающая синусоида с частотой b). Следует отметить, что затухание колебаний происходит интенсивнее при увеличении коэффициента затухания d0и увеличении постоянной времени Т1.
 |
При d0 = 0 (T1 = 0, T2 >0) инерционное звено второго порядка преобразуется в гармоническое звено. При этом корни характеристического уравнения становятся чисто мнимыми и сопряженными.
Переходная функция гармонического звена принимает вид
h(t) = K(1 - cosw0t) (8)
АФЧХ инерционного звена второго порядка имеет вид
(9)
Вещественная и мнимая части АФЧХ инерционного звена второго порядка
Можно показать, что АФЧХ в координатах U(w), V(w) при изменении w от нуля до бесконечности для различных значений коэффициента затухания d0 имеют вид, представленный на рис. 1.
 |
Примерами инерционных звенев второго порядка могут служить цепь постоянного тока с сопротивлением R, индуктивностью L и емкостью С; электродвигатель постоянного тока; акселерометр маятникового типа с торсионом; электромашинный усилитель ЭМУ и др. элементы.
 |
Рассмотрим цепь постоянного тока с R, L, C (рис.2).
Если такую цепь подключить к постоянному напряжению Uвх = const, то уравнение движения (в данном примере – переходный процесс в последовательном контуре) можно записать следующим образом
(10)
 |
Учитывая, что для емкости
Уравнение (10) можно записать следующим образом
(11)
Полагая, что входной величиной является Uвх, а выходной величиной – напряжение на конденсаторе Uc, уравнение (11) в операторной форме будет выглядеть так
(LCs2 + RCs + 1)Uc = Uвх.
Передаточная функция рассматриваемой цепи
Или
 |
Где К – статический передаточный коэффициент;
T1 = RC – первая постоянная времени, с;
– вторая постоянная времени, с.
Можно отметить, что первая постоянная времени связана с затратами энергии в звене (в сопротивлении R), а вторая постоянная времени T2 характеризует способность звена накапливать и рекупировать (отдавать) энергию в звене.
Если положить R = 0 (или пренебречь им), то получится гармоническое звено (Т1 = 0), в котором возникают незатухающие колебания.
Порядок выполнения работы