Полученной при вращении циклоиды
Найти вычет функции в указанной особой точке: z-a.
Решение:
Ответ: 1.
Найти вычет функции в указанной особой точке: z-a.
Решение:
Ответ: -4.
№7. Вычислить интеграл по замкнутому контору, считая направление обхода положительным:
Решение:
Ответ: т.к. считаем направление обхода положительным, то 
№8. Вычислить интеграл по замкнутому контору, считая направление обхода положительным:
Решение: z=0; 
;
Ответ:0.
№9. Вычислить интеграл по замкнутому контору, считая направление обхода положительным:
Решение:
Ответ: т.к. считаем направление обхода положительным, то 
№10. Вычислить интеграл 
Решение:
, 
- особые точки.
Ответ: 
№11. Вычислить интеграл: 
Решение: 
- чётная 
.
и 
лежат в верхней полуплоскости. 
Ответ: 
№12. Указать направление наибольшего убывания функции 
в точке с координатами 
Решение:
1 способ:В окрестности точки 
функция 
имеет вид:
.
2 способ:
-grad=8i-2j
Ответ: 
.
№13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку с координатами 
, которая ортогональна в этой точке к линии уровня функции 
Решение:
в точке 
.
- линия уровня проходящая через .
Продифференцируем по x:
- угловой коэффициент касательной к линии уровня в точке 
.
- угловой коэффициент нормали.
.
Ответ: 
.
№14. Написать уравнение прямой, проходящей через точку с координатами 
, которая касается в этой точке линии уровня функции 
Решение:
- уравнение функции в точке .
- уравнение линии уровня.
Продифференцируем:
- угловой коэффициент касательной.
Ответ: 
№15. Указать направление наибольшего роста функции 
в точке с координатами 
Решение:
В точке 
функция имеет вид:
В точке функция имеет вид:
Ответ: 
№16. Доказать, что кривые 
и 
Пересекаются под прямым углом.
Решение:
и 
- точки пересечения кривых.
В точке 
:
касательные перпендикулярны в точке 
В точке 
:
касательные перпендикулярны в точке 
в обеих точках пересечения кривые перпендикулярны.
Написать уравнение касательной
в циклоиде: x=2(t-sint), y=2(1-cost) в точке
соответствующей 
.
Решение:
Уравнение касательной имеет вид:
Ответ: 
№18. В каких точках пространства градиент функции перпендикулярен оси Oz: 
Решение:
- сфера радиуса R=1 с центром в точке (0;0;1)
Ответ: (0;0;1)
№19. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью,
полученной при вращении циклоиды
около оси Ox,
при 
Решение:
Ответ: 
№21. Вычислить:
Решение:
.
Ответ: 
№22. Вычислить: 
Решение:
Ответ: 
№23. Последовательность 
задается формулами: 
Вычислить 
Решение:
…
Ответ: 2.
№25. Вычислить 
Решение:
1 способ:
2 способ:
Ответ: 
№26. Вычислить: 
Решение:
Ответ: 
№27. Вычислить: 
Решение:
Ответ: 
№28. Найти предел: 
Решение:
Ответ: 
№29. Найти предел: 
Решение:
Ответ: 0.
№30. Найти предел: 
Решение:
Ответ: 
№31. Показать, что функция 
равномерно непрерывна на всей оси 
Решение:Ф-я f(x) наз-ся
равномерным непрерывным на x,
если для любого 
удовлетворяющий 
выполняется 
,
№32. Найти производную функции 
Решение:
.
- дельта-функция Дирака.
и 
.
Ответ: 
.
№33. Найти производную функции 
Решение: 
при 
Ответ: 