Теорема о существовании и единственности решения Задачи Коши (3.2),(3.4). 3 страница
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 
в обеих частях последнего равенства, получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными 
и 
.
Откуда 
. Поэтому 
, а общее решение данного уравнения: 
.
3.15). Решить уравнение 
.
Решение. Сначала решим соответствующее однородное уравнение: 
. Его характеристическое уравнение 
, или 
, имеет корни 
. Поэтому общее решение однородного уравнения записывается так: 
. Так как число 
не является корнем характеристического уравнения, то в соответствии с разделом II (1) Таблицы 3 частное решение данного уравнения имеет вид 
. Для нахождения коэффициентов 
, 
и 
подставим эту функцию и ее производные в исходное уравнение. Сократив обе его части на 
, имеем 
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях последнего равенства, получаем систему линейных уравнений для нахождения коэффициентов и
,
решая которую, находим 
, 
, 
. Итак, 
. По формуле (3.27) общее решение 
.
3.16). Решить уравнение 
.
Решение. Соответствующее однородное уравнение: 
. Его характеристическое 
имеет корни 
(Таблица 2 , раздел 3). Поэтому 
. По виду правой части, так как 
и числа 
нет среди корней характеристического уравнения, частное решение записывается так 
. Подставляя эту функцию и ее вторую производную в исходное уравнении, получим 
. Отсюда 
, 
а значит 
. Общее решение данного уравнения имеет вид 
.
3.17) Решить уравнение 
.
Решение. Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, выглядит так 
. Его характеристическое 
имеет корни 
. Поэтому 
(Таблица 2 , раздел 3). По виду правой части, где 
и числа 
нет среди корней характеристического уравнения (Таблица 3, IV(1)), записываем частное решение неоднородного уравнения 
.
Подставляя эту функцию и ее производные в исходное уравнение, получим
. Отсюда 
; 
. Значит
. Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид 
.
Задания для самостоятельного решения.
3.53. 
. 3.54. 
.
3.55. 
. 3.56. 
.
3.57. 
. 3.58. 
. 3.59. 
. .
3.60. 
. 3.61. 
.
3.62. 
. 3.63. 
.
Ответы
3.53. 
. 3.54. 
3.55. 
. 3.56. 
. 3.57. 
. 3.58. 
3.59. 
.
3.60. 
. 3.61. 
.
3.62. 
. 3.63. 
.
Контрольная работа № 3. Дифференциальные уравнения.
1.- 8. Определить тип и найти общие решения следующих дифференциальных уравнений.
- Решить задачу Коши.
3. Решить методом вариации произвольной постоянной.
4. Решить методом подстановки.
6. Решить уравнение, понижая его порядок.
8. Получить общее решение уравнения, записав вид его частного решения с неопределенными коэффициентами, не вычисляя их.
Вариант 1.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
Вариант 2.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. .
Вариант 3.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
Вариант 4.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. . 8. 
.
Вариант 5.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
Вариант 6.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
Вариант 7.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
Вариант 8.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
Вариант 9.
1. 
2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
Вариант 10.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
Вариант 11.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. .
7. 
. 8. 
.
Вариант 12.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
Вариант 13.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
Вариант 14.
1. . 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
Вариант 15.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. .
Вариант 16.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
Вариант 17.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
Вариант 18.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
Вариант 19.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
Вариант 20.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
Вариант 21.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
Вариант 22.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
Вариант 23.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
Вариант 24.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
Вариант 25.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
Вариант 26.
1. 
. 2. 
. 3. 
.