Линейные операции над векторами
1. Умножение вектора на число. Произведением вектора 
на число
называется вектор 
, который имеет длину 
, коллинеарен вектору 
, имеет направление вектора , если 
, и противоположное направление, если 
.
Например, если дан вектор , то векторы 
и 
будут иметь вид:
2. Сложение векторов. Пусть даны произвольные векторы и 
.Сумму векторов можно построить по правилу треугольника и по правилу параллелограмма.
3. Вычитание векторов 
можно заменить сложением вектора с вектором, противоположным вектору .
4. Свойства линейных операций.
1) 
| - переместительное свойство сложения; |
2) 
| - сочетательное свойство сложения; |
3) 
| - сочетательное свойство умножения на число; |
4) 
| - распределительное свойство относительно суммы чисел; |
5) 
| - распределительное свойство относительно суммы векторов. |
Разложение вектора по базису. Координаты вектора
Модуль вектора. Направляющие косинусы
Пусть 
- единичные векторы осей координат, т.е. 
и каждый из них одинаково направлен с координатными осями. Тройка векторов называется координатным базисом.
Теорема. Любой вектор пространства можно разложить по базису 
,т.е. представить в виде 
, где 
- некоторые числа (буквы:
- «мю», 
- «ню»).
Это разложение единственное.
q Доказательство. Приложим вектор к началу координат, обозначим его конец 
.Проведем через точку плоскости, перпендикулярные осям координат. Пусть 
, 
, 
-точки пересечения этих плоскостей с осями координат.
Существует единственная тройка чисел , 
, 
таких, что 
n.
Формула 
называется разложением вектора по координатному базису.
Числа , , -называются координатами вектора , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси. В символическом виде записывают 
.
Например, если
,то его координаты 
.
Зная координаты вектора , длину его можно найти по формуле
Если известны координаты точек 
и 
, то координаты вектора равны: 
.
Пусть углы вектора с осями 
, 
, 
соответственно равны 
, 
, 
. Числа 
, 
, 
называются направляющими косинусами вектора .
; 
; 
;
- основное свойство направляющих косинусов вектора.
Действия над векторами, заданными координатами
Пусть векторы 
и 
заданы своими координатами.
При сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются), т.е. 
При умножении вектора на число 
координаты его умножаются на это число, т.е. 
.
Если вектор коллинеарен вектору , то можно записать 
, где 
- некоторое число, т.е. 
, 
, 
. Отсюда, 
, 
, 
или 
- условие коллинеарности векторов.