Тема 3. Функции и их графики. 2 страница
в) Почленное интегрирование и дифференцирование рядов.
№3. Разложить функцию 
в ряд по степеням х и почленным интегрированием
данного ряда написать ряд для функции arcsin x.
№4. Применяя почленное дифференцирование, вычислить сумму ряда 
.
г) Приближённые вычисления с помощью рядов.
№5. Вычислить приближённо sin 1 и оценить погрешность вычисления.
№6. Вычислить cos 10 с точностью до 10 – 6.
№7. Пользуясь тождеством 
= arcsin 
, найти число π с точностью до 10 – 4.
Домашние задания:
Тема 1.
№1. Вычислить: а) 16 
; б) lg│cos π│ 
+ log 4 1.
№2. Что больше: log 3 4 или log 0,5 7?
№3. Определить знак числа 
.
№4. Найти область определения функции у = lg 
.
№5. Дано: ctg 
= - 
, 6300 < < 7200. Найти остальные функции этого угла.
№6. Упростить:
а) 
; б) 
; в) cos 
;
г) 8 cos 
cos 
cos 
; д) sin 
.
№7. Дано: tg + ctg = 3. Найти sec2 + cosec2 .
№8. Дано: cos = 
, 
< < 2π. Найти tg 2 .
Тема 2.
№1. Вычислить:
а) 
; б) 
; в) (1 + i 
)(1 + i) 
; г) 
;
д) 
; е) 
.
№2. Решить уравнения:
а) х 2 + 4 = 0; б) х 2 – 6х + 18 = 0; в) х 4 – 30х 2 + 289 = 0.
Тема 3.
№1. Найти области определения функций:
а) f (x) = 
+ 
; б) f (x) = 
; в) 
(3 + 5х – 2х 2).
№2. Найти множества значений функций:
а) f (x) = 5 + 4х – х 2; б) f (x) = 
.
№3. Построить графики функций:
а) у = |х 2 - 5|х| + 6| - 2; б) у = 2| log2 |х - 1||.
Тема 4.
№1. Построить кривые:
а) х 2 + 2у 2 – 4х + 4у + 2 = 0; б) у 2 + 6у + 2х + 5 = 0;
в) х 2 + у 2 + 10х - 4у + 13 = 0; г) 9х 2 – 16у 2 + 90х + 32у – 367 = 0.
№2. Составить уравнение окружности, проходящей через точки пересечения окружнос-
ти х 2 + у 2 + 4х – 4у = 0 с прямой у = - х и точку М1(4; 4).
№3. Написать каноническое уравнение симметричного относительно осей координат
эллипса, который проходит через точку М(5/4; 1) и имеет эксцентриситет ε = 3/5.
№4. Дан эллипс 
= 1. Составить уравнение гиперболы, вершины которой нахо-
дятся в фокусах, а фокусы в вершинах данного эллипса.
№5. Составить каноническое уравнение параболы, если её фокус находится в точке
пересечения прямой 4х – 3у – 4 = 0 с осью Ох.
Тема 5.
№1. Доказать, что 
. Определить, начиная с какого номера члены данной последовательности будут отличаться от её предела на величину, меньшую 0,1; 0,01; 0,001.
№2. Доказать, что 
= - 2. Определить, на какую величину 
должен отличаться аргумент х от - 1, чтобы данная функция отличалась от своего предела на величину, меньшую чем 0,1; 0,03.
№3. Доказать, что 
не существует.
№4. Вычислить: а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е*) 
;
ё) 
; ж) 
; з*) 
;
и) 
; й) 
; к) 
; л) 
;
м) 
; н) 
; о) 
; п) 
;
р) 
; с) 
; т) 
; у) 
.
Тема 6.
№1. Исследовать на непрерывность функции:
а) у = 
; б) у = 
; в) у = 
.
Тема 7.
№1. Используя определение, найти производные функций:
а) у = tg 
; б) у = 3х.
№2. Найти производные функций:
а) у = 
; б) у = 
; в) у = ln (3x 2 + 
); г) у = 
+ ln sinx;
д) у = ln arctg 
; е) у = х arctg x.
№3. Найти производную у’x , если arcsin y = x 2y 3 – 7yx 2.
№4. Найти производные п-го порядка: а) у = cos x; б) у = 2 х + 2 – х; в) у = 
.
Тема 8.
№1. Найти дифференциал функции у = 
.
№2. Найти приближённые значения: а) (1,015)5; б) tg 460.
Тема 9.
№1. Вычислить пределы: а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
Тема 10.
№1. Найти асимптоты кривой у = 2х + arctg x.
№2. Найти интервалы монотонности функции у = 
.
№3. Найти экстремумы функции у = х 2(1 - х 
).
№4. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба кривой у = 
.
№5. Построить графики функций:
а) у = 
; б) у = 2х - 3 
; в) у = (х – 1) е 1 – х; г) у = 
.
Тема 11.
№1. Найти область определения функции z = 
и изобразить её графически.
№2. Найти частные производные функции и = 
tg 
.
№3. Вычислить приближённое значение 3,01 2,03 с помощью дифференциала.
№4. Найти производную функции и = arccos 
в точке М0 (1; 1; 1)
по направлению вектора l = {2; 1; 2}.
№5. Найти градиент функции z = 
в точке М0(0; 3) и его модуль.
Тема 12.
№1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 3 - 6 
+ 4х – 8
на отрезке [- 1; 8].
№2. Из прямоугольного листа картона размером 2,4 × 1,5 м 2 требуется изготовить коробку без крышки. Какова должна быть сторона квадратов, вырезанных из четырёх
углов листа, чтобы объём полученной коробки был максимальным? Чему равен объём такой коробки?
№3. Окно в загородном доме имеет форму прямоугольника, завершённого полукругом.
Периметр окна равен Р. При каком радиусе полукруга площадь окна будет наибольшей?
№4. Найти экстремумы функций:
а) z = х 2 + у 2 + ху – 4х – 5у; б) z = 
- х – 2у.
№5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
z = ln (х + у) в области (х – 2)2 + (у – 2)2 ≤ 1.
№6. Найти условные экстремумы функции z = 
при х + у = 2.
№7. Общие издержки производства заданы функцией С = 0,5х 2 + 0,6ху + 0,4у 2 + 700х +
+ 600у + 2000, где х и у – количества товаров А и В. Общее количество произведён-ной продукции должно быть равно 500 ед. Сколько единиц товара А и В нужно про-
изводить, чтобы издержки на их изготовление были минимальными?
Тема 13.
№1. Найти интегралы: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
dx;
д) 
dx; е) 
; ё) 
dx; ж) 
dx; з) 
dx;
и) 
dx; й) 
dx; к) 
dx; л) 
dx;
м) 
dx; н) 
dx; о) 
; п) 
;
р) 
; с) 
cos 5 dx; т) 
dx; у) 
cos 4x dx;
ф) 
dx; х) 
; ц) 
; ч) 
;
ш) 
dx; щ) 
.
Тема 14.
№1. Вычислить интегралы: а) 
dx; б) 
; в) 
.
Тема 15.
№1. Вычислить интегралы или установить их расходимость: а) 
; б) 
x dx.
Тема 16.
№1. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
а) у = х 2 + 4х, у = х + 4; б) у = х sin x, у = 0, 0 ≤ х ≤ π.
№2. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограни-
ченной линиями у = 4х – х 2, у = х.
№3. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограни-
ченной линиями у = х 
, х = - 4, у = 0.
Тема 17.
№1. Решить уравнения и, где указано начальное условие, найти частный интеграл:
а) 
dx = xy dy; б) (1 + е х) уу’ = е х, у (0) = 1; в) у 2 + х 2у’ = хуу’;
г) (х 2 – 3у 2) dx + 2xy dy = 0, у (2) = 1; д) у = х (у’ – х cos x); е) ху’ + у – е х = 0, у (а) = b;
ж) у’ + 2у = у2е х; з) (3х 2у – 4ху 2) dx + (x 3 – 4x 2y + 12y 3) dy = 0.
Тема 18.
№1. Решить задачи Коши и построить найденные интегральные кривые:
а) у’’’ = 
, у (1) = 2, у’ (1) = 1, у’’ (1) = 1; б) у’’ = 
, у (1) = , у’ (1) = 1;
в) у 3у’’ = 1, у 
= 1, у’ = 1.
Тема 19.
№1. Найти общие решения уравнений:
а) у’’’ – 8у = 0; б) у (4) – у = 0; в) у (5) – 6у (4) + 9у’’’ = 0; г) у (4) - 5у’’ + 4у = 0;
д) у’’ + 4у’ + 4у = хе 2х; е) у (4) + 5у’’ + 4у = 3 sin x.
Тема 20.
№1. Исследовать ряды на сходимость: а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
; ё) 
; ж) 
; з) 
.
Тема 21.
№1. Найти области сходимости степенных рядов:
а) 
; б) 
; в) 
.
Тема 22.
№1. Разложить в ряд Тейлора функцию у = cos по степеням 
.
№2. Разложить функции в ряды Маклорена: а) ln 
; б) 
.
№3. Разложить функцию 
в ряд Маклорена и почленным интегрированием
данного ряда написать ряд для функции arctg x.
№4. Применяя почленное интегрирование, вычислить сумму ряда 
.
№5. Применяя почленное дифференцирование, вычислить сумму ряда 
.
№6. Вычислить с точностью до 10 – 3: а) 
; б) tg 90.
Ответы к аудиторным заданиям.
Тема 1. №1. а) 1; б) – 1; в) 
; г) 5; д) 64; е) 2; ж) 3. №2. 
.
№3. Указание. Подобрать число, удобное для сравнения с левой и правой частями неравенства, и лежащее между ними. №4. а) “-“; б) “-“. №5. х 
(- ∞; - 2) 
(2; + ∞). №6. min = 1,
max = 3. №7. sin α= - 
, tg α= 
,ctg α= 
. №8. а) sin α + cos α;
б) 1 - 
sin 22α; в) 8; г) 0; д) – 1. №9. 
. №10. 18. №11. 
. №12. 
. №13. .
№14. 
. №15. . №16. 16. №17. 
. №18. - 
.
№19. Указание. Воспользоваться определением косинуса с помощью единичной окружности.
№20. arccos 
. Указание. Воспользоваться определением косинуса с помощью единичной окружности и линией котангенсов.
Тема 2. №1. а) 6 – 4i; б) 5 – i; в) 2 + i. №2. а) да; б) нет; в) нет; г) нет.
№3. 5
. №4. а) 1024; б) 2 – 6(1 - i );
в) ± 
+ i, - i; г) ± 2( + i), ± 2(- 1 - i ); д) ± 1, ± + i , ± - i .
№5. а) ± i; б) 1 ± 3i; в) 2 ± i, - 2 ± i.
Тема 3. №1. а) [- 2; 2]; б) (- ∞; - 
] [ ; 3) (3; + ∞);в) 
;
г) (0; 1) (1; 2); д) (1; + ∞). №2. а) [- 3; + ∞); б) [0; 3]; в) (0; 1].