Условие равновесия потребителя
Дано:
1. Три кривых безразличия U1–U3.
2. Бюджетное ограничение Рх × Х + Py × Y = I,
где
I – номинальный доход (величина постоянная).
3. Наборы продуктов, соответствующие точкам A, B, C, D, E и F.
Доказать:
что набор продуктов, соответствующий точке C (рис. 2.9.), отражает ситуацию потребительского равновесия, в которой рациональный потребитель достигает максимум общей полезности.
Рис. 2.9. Положение равновесия потребителя.
Доказательство:
Количественная теория поведение кривых безразличия U1–U3 объясняет с точки зрения убывающей предельной полезности (первый закон Госсена).
Порядковая теория поведение кривых безразличия U1–U3 объясняет с точки зрения снижающейся предельной нормы замещения (MRS). В любой точке кривой безразличия предельная норма замещения будет выражать следующую зависимость:
MRSxy = l- dYl / ldXl = MUx / MUy.
Рассмотрим положение бюджетной линии и кривых безразличия U1 – U3 в бюджетной плоскости:
1. для потребителя более предпочтительны наборы из двух продуктов (X,Y), соответствующие точкам E и F(кривая безразличия U3). Однако, они ему не доступны, т.к. не хватает дохода;
2. если потребитель предпочтет наборы из двух продуктов(X,Y) кривой безразличия U1 (точка A,B и D), то он поступит нерационально. При данном уровне потребления доход используется им не полностью (заштрихованная часть бюджетного пространства);
3. рациональный потребитель увеличит степень удовлетворения своих потребностей (при том же бюджетном ограничении), перейдя с кривой безразличия U1 на U2 (точка C).
Проанализируем точку C:
· Точка C – точка касания кривой безразличия U2 и бюджетной линии. В данной точке тангенс угла наклона кривой безразличия равен тангенсу угла наклона бюджетной линии.
· Тангес угла наклона есть производная функции или отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
· Возьмём производную в точке C:
.
Поскольку в теории потребления номинальный доход потребителя величина постоянная, то количество сэкономленных денег от недопотребления товара Y, должно соответствовать количеству денег, потраченных на приобретение товара X. Отсюда, приравняв производные:
,
получим следующее выражение:
.
Таким образом, набор из двух продуктов, соответствующий точке C отражает ситуацию потребительского равновесия, в которой рациональный потребитель достигает максимум общей полезности (второй закон Госсена). Это и требовалось доказать.
Вывод: точка C – точка потребительского равновесия. В этой точке:
· достигается максимум общей полезности;
· объединяются обе теории потребительского выбора (количественная и порядковая).
Опираясь на данное доказательство, решим следующие задачи: 2.5; 2,9 и 2.10, которые позволят нам закрепить наши умения и навыки.