Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

Операции с (над) множествами

Виды множеств

l Конечные и бесконечные мн-ва.

Конечные множества могут состоять из разного числа элементов – {1},{a;b;c;d;t} (!!! Множество – не изобилие)

Пустые множества -множества, в которых нет ни одного элемента.ОбозначениеÆПримеры. множество акул в Байкале

Бесконечные множества – множества, в которых бесконечно много элементов.

Пример: N–множество натуральных чисел {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;…}, Z – множество целых чисел,

Q – множество рациональных чисел, R - множество действительных чисел, [1;5]-отрезок, (3;7)-интервал

l Дискретные(разрывные)и непрерывные множества

l Упорядоченные и неупорядоченные множества. Запись (1;2)- упорядочное и {1;2}- неупорядочное

Способы задания множеств

l Конечное (и только) множество можно задать перечислением его элементов. Пример: А = {1;2;3}.

! Конечное множество книг на планете только теоретически можно задать перечислением.

l Бесконечное и конечное множество можно задать указанием его характеристического свойства

Пример:A = {x | х Î N ,x<4}, т .е. A = {1;2;3}- конечное, A = {x | x<4} , т.е. A = (-¥; 4) - бесконечное.

состоит из элементов таких, что

Характеристическое свойство – свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они Пример. А – множество студентов, живущих в общежитии. Назовите характеристическое свойство .

Отношения между элементами и множествами.

Между элементом и множеством - отношение принадлежности Пример. А = {1;3; 9}. 3 ÎA, 10 ÏA

В
Между двумя множествами- отношение включения (или одно множество является подмножеством другого). Изображение ВÌ А

Пример. Пусть А={л;д;ж}. Тогда л Ì А –неверно, {л}Î A – неверно; л Î А -верно

Говорят, что множество В являетсяподмножествоммножества А, и пишут ВÌА, если всякий элемент множества В является элементом множества А. Пример. А={a;s;d;f}, B={a;f} . (a ÎA, fÎA) ВÌА
!!!Пустое множество является подмножеством любого множества : ÆÌА.
Любое множество является подмножеством самого себя: АÌА.
У любого множества есть, по крайней мере, 2 подмножества – пустое и оно само – они называются несобственными подмножествами. ÆÌА, АÌА.
Множество U наз. универсальнымдля всех своих подмножеств.

Операции с (над) множествами

В
А
А ÇВ
1) Пересечением множеств A и B называется множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих одновременно множествам A и B.(общие элементы)

Обозначение. AÇB AÇB={x ÷ xÎA и xÎB}.

Пример. Если A={1; 2; 3}, B={1; 3; 4}, то AÇB={1; 3} - -общие элементы.

п
д
Пример. А. Конан-Дойль «5 апельсиновых зёрнышек»

л
Шерлок Холмс искал судно. В январе 1883г. оно было в Пондишере.

В январе 1885г. – в Данди. Сейчас – в Лондонском порту.

Оказалось только одно судно входило во все 3 множества кораблей,

– американский корабль «Одинокая звезда»!

В
А
2) Объединениеммножеств A и B называется множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B

Обозначение. AÈB AÈB={x÷ xÎA или xÎB}.

Пример 1. Если A={1; 2; 3}, B={1; 3; 4}, то AÈB={1; 2; 3; 4}.

! Повторяющиеся элементы записываем один раз!

А
3)Разностью множеств A и B называется множество, которое состоит из всех элементов множества A, не принадлежащих множеству B

Обозначение. A\B A\B={x ÷ xÎA и xÏB}.

Пример. Если A={1; 2; 3}, B={1; 3; 4}, то A\B={2}.

Задача

Б23
10
В группе 40 студентов. Из них 23 любят болтать на занятиях, 13 — решать задачи, 11 любят на занятиях спать. Среди тех, кто болтает на занятиях, постоянно засыпают — 7, а среди тех, кто решает задачи, засыпают только 3. Болтать и решать задачи умеют 8 человек; а 2 человека успевают на одной паре делать все три дела. Сколько студентов вообще ничего не любят?

Решение. 1) 7-2=5- только болтают и засыпают

2) 8-2=6- только болтают и решают
3) 23-6-2-5=10-только болтают
…….

.) 40-(10+6+4+5+2+1+3)=9 -ничего не делают
  1. Какие из высказываний являются верными?

    • Число 2 принадлежит множеству (2; 10].
    • Число -0,25 не принадлежит множеству [-0,5; 0].
    • Число 9 принадлежит множеству N.
    • Число 1/5 принадлежит множеству Z.

  1. Y
    o
    h
    n
    Х
    Запишите множества:

·

с
X È Y

·

p
q
Y È V

·

V
z
X Ç Y

· V Ç Y

· X È Y È V

· X ÇY Ç V


 

.


  1. Найдите:
[8 ; 15] Ç [9 ; 20] (-1 ;1] Ç [-1;0) [-1 ; 1] Ç [-1; 0]
[-1 ; 0 ) È [0 ; 4] [1 ; + ¥) È [0 ; + ¥) (0 ; 2) È [0 ; 2]
{-1;0;3} Ç [-1;0) {-1;0;3} È [0 ; 2] {-1;6;9;11;21 } Ç [9 ; 20]
  1. Задайте перечислением следующие множества А={x|-5<x<6;x N}, B = {x| -3<x<2, x Z}/
  2. В классе 30 учеников. Каждый из них занимается либо футболом, либо хоккеем, а 5 учеников – и хоккеем и футболом. Сколько учеников занимается футболом, если хоккеем занимается половина учеников класса?
  3. Каждый ученик в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 человек, французский –

27 человек, а тот и другой – 18 человек. Сколько учеников в классе?

  1. Даны три множества М = {12; 20; 35}, N = {12; 20; 48; 60; 90}, K = {48; 60; 90}. Запишите:

а) пересечение множеств M и N; б) разность множеств M и K; в) пересечение N и K; г) объединение множеств M и N; д) объединение множеств M и K; е) разность множеств N и K;

  1. В следующих множествах все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством. Найдите элемент каждого множества не обладающий характеристическим свойством.

  1. Е = {жираф, аист, корова, барсук, собака}
  2. A = {2,6,15,84,156}
  3. B = {2,7,13,16,29}
  4. C = {1,9,25,67,121}
  5. K = {2,12,36,80,150}
  6. D = {треугольник, квадрат, трапеция, круг}

  1. На диаграмме изображены множества А, В, С. Укажите на диаграмме следующие множества:

  1. А È ( В Ç С ) b. А Ç ( В È С ) c. ( А \ В ) È ( В \ А ) d. ( А È В ) \ ( В Ç А )

  1. Все участники поездки владеют, по крайней мере, одним иностранным языком. 6 из них знают английский язык; 7 – немецкий; 6 – французский; 4 – английский и немецкий; 3 – немецкий и французский; 2 – французским и английским;1 – французским, английским и немецким. Сколько человек принимали участие в поездке?
  2. На загородную прогулку поехали 92человека. Бутерброды с колбасой взяли 48 человек, с сыром – 38 человек, с ветчиной – 42 человека, с сыром и с колбасой – 28 человек, с колбасой и с ветчиной – 31 человек, а с сыром и с ветчиной – 26 человек. 25 человек взяли с собой все три вида бутербродов, а несколько человек вместо бутербродов взяли пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?
  3. Из 35 учащихся класса 20 посещают математический кружок, 11 – физический, 10 учащихся не посещают ни одного из этих кружков. Сколько учеников посещают математический и физический кружки? Сколько учащихся посещают только математический кружок?
  4. Каждый ученик класса либо девочка, либо блондин, либо любит математику. В классе 20 девочек, из них 12 блондинок одна блондинка любит математику. Всего в классе 24 ученика-блондина, математику из них любят12, а всего учеников (мальчиков и девочек), которые любят математику, 17, из них 6 девочек. Сколько учеников в данном классе?

14. На крышах живут 44 Карлсона. 27 из них любят клубничное варенье, 25 – вишнёвое, 25 – абрикосовое, 15 - и вишнёвое, и клубничное; 12 – и клубничное, и абрикосовое. 3 Карлсона любят все 3 вида варенья. Сколько Карлсонов любят только абрикосовое и вишнёвое варенье?

  1. В кровавой битве из 100 пиратов не менее 70 потеряли 1 глаз, не менее 75 – 1 ухо, не менее 80 -1 руку, не менее 85 – 1 ногу. Каково наименьшее число пиратов, потерявших одновременно глаз, ухо, руку и ногу?

16. В одном курортном городке, где проводят свои отпуска много отдыхающих, 28 % взрослых читают «Монд», 25% - «Фигаро», 20% - «Орор». Кроме того, 11% отдыхающих читают как «Монд», так и «Фигаро», 3% - «Монд» и «Орор», 2% - «Фигаро» и «Орор», тогда как 42% отдыхающих не читают ни одной из этих газет. Чему равен процент отдыхающих, которые читают одновременно «Монд», «Фигаро» и «Орор»?

17. Изобразите при помощи кругов Эйлера соотношение понятий:

· вид транспорта, машина, тройка лошадей, подводная лодка, стиральная машина;

· молния, явление природы, стихийное бедствие, пожар;

· пользователь Интернета, студент, пользователь Интернета с целью обучения;

· причина пожара , пожар, поджог, молния, взрыв атомной бомбы;

· цифровая техника, нецифровая техника, цифровая камера, холодильник «ЗИЛ», пишущая машинка «Ундервуд»;

· мышь, оптическая компьютерная мышь, устройство ввода – вывода информации, оптико–механическая мышь.

  1. При изучении групп крови обследовалось 10 000 человек. У 5 500 из них был обнаружен агглютиноген А, у 2 500 – агглютиноген В, у 3 000 этих агглютиногенов не обнаружилось. Пусть А, В и О как 3 соответствующие множества людей.

· Нарисуйте диаграмму Венна к данной задачи;

· Опишите словами множества А В, А В, А О;

· Сколько людей имеют 2 агглютиногена: А и В ?

  1. Из 100 студентов английский язык знают 28 студентов, немецкий – 30, французский – 42, английский и немецкий – 8,английский и французский – 10, немецкий и французский – 5, все три языка знают 3 студента. Сколько студентов не знают не одного из трех языков?