Моменты инерции относительно параллельных осей
Для определения геометрических характеристик сложных сечений, составленных из стандартных прокатных профилей (двутавр, швеллер и др.), нужно знать соотношения между моментами инерции этих элементов относительно собственных центральных осей, приведенными в сортаменте, и моментами инерции относительно центральных осей всего сечения.
Рассмотрим две системы координат 
и 
(рис.4.1), связанные зависимостями:
; 
.
Для момента инерции 
из (4.4) с учетом последнего соотношения получим:
,т.к. 
(см. параграф 4.1).
Таким образом, момент инерции сечения относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной ей центральной оси плюс площадь сечения, умноженная на квадрат расстояния между осями:
|
. (4.6)
Моменты инерции простых сечений
К числу наиболее распространенных форм поперечных сечений балок, особенно деревянных, относятся прямоугольник и круг.
Прямоугольник. Рассмотрим поперечное сечение балки шириной b и высотой h и определим его момент инерции (4.4) относительно оси 
(рис.4.2).
Разобьем площадь сечения F на полоски шириной h и высотой 
и положим 
. Тогда интегрирование по площади F сведется к вычислению одномерного интеграла:
.
Итак, момент инерции прямоугольника:
|
| (4.7) |
Круг. Определим вначале момент инерции круга радиуса R относительно его центра О (рис.4.3). Проще всего вычислить соответствующий интеграл в (4.4), разбивая круг на кольца шириной dr и полагая dF равной площади этого кольца.
С точностью до бесконечно малых первого порядка 
, поэтому:
Теперь с помощью (4.5) легко найти и 
:
|
(4.8)
Пример 4.1.Вычислить центральный момент инерции балки треугольного поперечного сечения (рис.4.4а).
Решение.Рассмотрим сечение в виде квадрата со стороной 
(рис.4.4б). Полагая в (4.7) 
, найдем момент инерции квадратного сечения относительно оси 
.
Воспользовавшись для квадрата соотношением (4.5), получим:
,
откуда 
.
| _ |
, получим, что момент инерции каждого из них относительно оси будет равен:
.
Возвращаясь к рис.4.4а, найдем для заданной балки:
.
Центр тяжести треугольника отстоит от центра О на расстояние 
, поэтому расстояние между осями 
и 
равно 
.
Воспользовавшись зависимостью 4.6, получим:
. ·
ГЛАВА 5. НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
Предпосылки расчета
Мы выяснили, что напряжения в поперечном сечении балки статически эквиваленты внутренним усилиям, которые находят из условий равновесия ее отсеченной части. Однако, для расчета на прочность недостаточно определить М и Q - нужно знать именно напряжения 
и 
. Чтобы выразить последние через внутренние усилия (1.2), надо ввести дополнительные гипотезы, отражающие особенности деформирования балки и распределение напряжений по площади ее сечения, - подобные введенной при рассмотрении ЦРС.
Для обоснования соответствующих предпосылок рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения в условиях чистого изгиба с нанесенной на ее боковой поверхности ортогональной сеткой (рис.5.1).
Как видим, ее нижние волокна - растягиваются, верхние - сжимаются, а образующие нейтральный слой - остаются недеформированными. При этом размеры сечения по оси 
не меняются, а сами сечения остаются перпендикулярными к изогнутой оси балки.
Это позволяет ввести в рассмотрение две гипотезы.
1. Статическая гипотеза. Горизонтальные слои балки не давят друг на друга, т.е. 
.
2. Кинематическая гипотеза. Сечения, перпендикулярные к оси балки до деформации, остаются перпендикулярными к ее изогнутой оси. При этом перемещения точек нейтрального слоя балки вдоль осей 
и 
равны нулю.
Как показывает опыт, применение этих гипотез оправдано и в случае поперечного изгиба балки.
Определение. Прямая, полученная пересечением нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения, называется его нейтральной осью.
ПРИМЕЧАНИЯ:
1. Кинематическая гипотеза, известная как гипотеза плоских сечений Я.Бернулли, фактически применялась нами еще в параграфе 2.1 при рассмотрении деформации ЦРС: введенная там предпосылка о постоянстве 
в поперечном сечении стержня с учетом закона Гука (2.6) означала постоянство 
, а в силу (2.4) - также и w.
2. Рассмотренные гипотезы, особенно в случае поперечного изгиба, соответствуют действительности только приближенно:
- вблизи мест приложения нагрузки нарушается статическая гипотеза о несдавливании горизонтальных слоев;
- первоначально плоские поперечные сечения при деформации могут искривляться и так далее.
Тем не менее, полученные на их основе результаты расчета вполне отвечают потребностям инженерной практики.
Перемещения и деформации
Рассмотрим балку в системе координат 
, где ось балки совпадает с осью , проходящей через нейтральные оси сечений (рис.5.2а).
| z |
Прогибами балки называются перемещения точек ее оси, которые с учетом кинематической гипотезы возможны только в направлении оси .
Изогнутой осью балки называется кривая 
, которую принимает ось балки при деформации.
Угол поворота сечения 
равен углу наклона касательной к изогнутой оси балки. На основании гипотезы малости перемещений (параграф 1.4):
θ(z) ≈ sin θ ≈ tg θ = dv/dz . (5.1)
Правило знаков - в соответствии с рис.5.2б.
Отметим, что в силу гипотезы Бернулли перемещения всех точек балки описываются перемещениями точек, лежащих в плоскости ее симметрии Oyz.
Чтобы проследить за точками балки, не лежащими на ее оси, рассмотрим консоль длиной z, защемленную на левом конце и загруженную на правом - моментом (рис.5.3).
Зафиксируем на свободном конце балки точку А - пусть она находится на расстоянии у от нейтральной оси, проходящей через точку С, и в результате деформации занимает в пространстве положение 
.
Из 
найдем модуль проекции вектора перемещения 
на ось Оz: |w(z)| = A¢B = A¢C¢sin q = y sin q.Принимаяво внимание (5.1) и заменяя приближенное равенство строгим, получим с учетом знака w(z):
w(z) = -y tg q = -y dw/dz. (5.2)
В силу статической гипотезы отдельные слои балки ведут себя как при ЦРС, поэтому деформации можно найти по формуле (2.3):
ez 
. (5.3)
Таким образом введенные в предыдущем параграфе гипотезы, позволяют выразить перемещения и деформации точек балки через уравнение ее изогнутой оси 
.
ПРИМЕЧАНИЯ:
1. Фактически изменение длины волокна балки, проходящего через точку А ее сечения, равно не отрезку 
, а отрезку A¢B¢ = y tgq, и (5.1) означает, что 
(рис.5.3б).
2. Для строгого обоснования формулы (5.3) нужно рассмотреть, как это было сделано в параграфе 2.1, часть балки длиной 
, где 
- радиус кривизны изогнутой оси балки и найти непосредственно по формуле (2.2):
ez 
. (5.4)
Переход от (5.4) к (5.3) означает, что в выражении кривизны:
(5.5)
мы пренебрегаем членом 
, величина которого, в соответствии с действующими в строительстве нормами, не превышает 10-4.
Нормальные напряжения
Рассмотрим балку произвольного симметричного сечения в системе координат , где ось 
совпадает с нейтральной осью, а Oy - является осью симметрии сечения.
Мы уже говорили, что отдельные слои балки фактически находятся в условиях ЦРС, поэтому напряжения в них, с учетом закона Гука, можно найти по формуле (2.6):
. (5.6)
Таким образом, напряжения 
пропорциональны удалению точек сечения от его нейтральной оси (рис.5.4).
К сожалению, на практике мы не можем воспользоваться последней формулой по двум причинам:
- неизвестно положение нейтральной оси ;
- мы не знаем, чему равно значение 
.
Для ответа на эти вопросы, воспользуемся выражениями внутренних усилий через напряжения (1.2), а также учтем формулы (5.6) и (4.2):
; (5.7)
. (5.8)
Поскольку при изгибе балки 
, то из (5.7) следует, что 
, т.е. нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения.
Изгибающий момент 
в балке отличен от нуля и, как следует из (5.8), пропорционален изгибной жесткости балки 
:
 .
|
(5.9)
Поделив (5.6) на (5.9), получим искомое выражение для нормальных напряжений s = sz в поперечных сечениях балки:
 .
|
(5.10)
Как видим, максимальные по модулю напряжения будут в точках сечения, наиболее удаленных от его нейтральной оси:
max 
, (5.11)
где
max 
(5.12)
- момент сопротивления сечения. Это основная геометрическая характеристика прочности балки.
Для прямоугольного сечения (рис.4.2) max = 
, поэтому 
.