Основные уравнения строительной механики
Математическая сторона основной задачи строительной механики основана на зависимостях, полученных в сопромате. Напомним их на примере напряженно-деформированного состояния элемента рамы, для которого – в отличие от балки – поперечный изгиб сопровождается дополнительным растяжением или сжатием.
Пусть такой элемент длиной dx расположен в локальной системе координат Oxy, где ось Ox направлена по оси стержня, и загружен распределенной нагрузкой интенсивностью qx и qy вдоль Ox и Oy соответственно (рис. 1.20).
Напряженно-деформированное состояние стержня определяется девятью компонентами:
– внутренними усилиями (M, Q, N,);
– перемещениями (u, v, q);
– деформациями (κ, g, e).
Уравнения для определения этих функций можно разделить на три группы.
Статические уравнения – связывают внутренние усилия (рис. 1.20, б) с заданной нагрузкой:
dN/dx = – qx; ü
dQ/dx = qy; ý (1.10)
dM/dx = Q . þ
Геометрические уравнения – выражают деформации через перемещения, показанные на рис. 1.20, в, г:
κ = dq/dx; ü
g = q - dv/dx; ý (1.11)
e = du/dx. þ
Физические уравнения – представляют собой зависимости между внутренними усилиями и деформациями:
κ = M/EJ; ü
g = mQ/GF; ý (1.12)
e = N/EF; þ
где E – модуль Юнга;
G – модуль сдвига;
F – площадь поперечного сечения стержня;
J – момент его инерции;
m – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений в поперечном сечении стержня.
| Q > 0 |
| γ>0 |
| Q+dQ |
| M > 0 |
| N+dN |
| qx > 0 |
| qy > 0 |
| u>0 |
| θ>0 |
| N > 0 |
| M+dM |
| θ+dθ > 0 |
Рис.1.20
Отметим, что выражения EJ и EF в (1.12) называются жесткостями стержня при изгибе и растяжении (сжатии) соответственно.
При решении системы уравнений (1.10) – (1.12) возможны два варианта:
1) внутренние усилия M, Q, N удается найти из системы уравнений (1.10), не обращаясь к остальным уравнениям – это СОС;
2) внутренние усилия можно найти только путем совместного решения всех девяти уравнений – это СНС.
В последнем случае при решении этих уравнений возможны два подхода:
– в качестве основных неизвестных выбирают усилия M, Q, N, выражая все остальные через них – это решение в форме метода сил;
– в качестве основных неизвестных выбирают перемещения u, v, q – это решение в форме метода перемещений.
Системы, описываемые линейными уравнениями (1.10) - (1.12), называются линейно-деформируемыми. Для них справедлив принцип суперпозиции, в соответствии с которым:
внутренние усилия, перемещения и деформации от заданной нагрузки (или иного воздействия) можно найти как сумму соответствующих величин от каждой нагрузки в отдельности.
Примечания
1. Первое из статических уравнений (1.10) получается из условия равновесия рассматриваемого элемента рамы. Полагая в его пределах qx = const, и составляя уравнение SX = 0, получим:
– N + qx×dx + (N +dN) = 0,
откуда и следует искомая зависимость. Два других уравнения из (1.10) – это дифференциальные зависимости Журавского.
2. Первое из физических уравнений (1.12) представляет собой дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:
κ = dq/dx = d 2v/dx 2 = M /EJ.
Второе уравнение в предпосылке равномерного распределения касательных напряжений в поперечном сечении стержня (m =1) выражает закон Гука при сдвиге:
t = Q/F = Gg.
При этом мы не уточняем смысл коэффициента m по причине, которая будет указана в § 3.5. Последнее из физических уравнений (1.12) – это закон Гука при ЦРС:
s = N/F = E×e.
3. В дальнейшем мы будет по-прежнему применять обозначение Oxy для глобальной системы координат, связанной с конструкцией в целом.