Предел числовой последовательности
Определение предела последовательности
Последовательность называется отображение
f:N->A (в любое множество), AR то последовательность называется числовой.
an – элемент числовой последовательности
{an} 
- элемент числовой последовательности
Числовая последовательность может быть задана перечислением.
A – конечно:
a1=1, a2=1, …, an=1
любо формулой его общего члена
an= 
, a1=1, a2= 
, …, an= .
Определение предела числовой последовательности.
Число a называется пределом числовой последовательности {an}, если 
n 
< 
a=(равно по определению) = 
n
Пример
an= ; 
n=0 (a=0)
an 
=| 
, n> 
N=[ ]+1
Если последовательность имеет предел, то называется сходящаяся, в противном случае расходящаяся.
При отрицании какого-нибудь высказывания кванта всеобщности 
меняется.
Запишем, что число a не является пределом последовательности
(a<>liman)( 
=>|an-a| 
an=(-1)n:-1;1;-1;1; …
–окрестностей числа a называется такой интервал (a- 
,a+ )
(a, ) окрестностей.
Число a является пределом числовой последовательности любая ее (a, ) содержит все члены этой последовательности за исключением, быть может, конечного числа.
Общее свойство пределов
1)Теорема!!! Сходящаяся последовательность имеет только один предел
Док-во:
Предположим противное(ПП)
, 
; 
,
,
( 
( 
<>
, ч.т.д
2) Элементы сходящихся последовательности являются ограниченным множеством.
Док-во:
Например
A{aN+1, aN+2, …} (a-1, a+1)
B={a1, a2, …, aN}
AB –огран. чтд
3) 
b>a => 
=> 
чтд 
c<a => => 
4) 
=> 
5) 
6) 
Бесконечно малые (большие) последовательности
Определение.
Последовательность {an} называется бесконечно малой, если существует 
{bn} (bn<>0) называется бесконечно большой, если { 
} является бесконечно малой.
Определение:
{xn}, {yn} то их суммой, разностью, произведением, отношением называют соответсветствующие {xn+yn}, { xn-yn }, { xnyn }, { xn/yn } (yn<>0)
Теорема!!! { 
n} –бм { 
n} – бм, тогда их сумма, разность и произведение является бм последовательностью.
Арифметические свойства последовательности
Теорема!!! 
Док-во: 
{xn} – бм
Теорема!!!
1) 
,
2) 
,
3) 
Док-во:2)
 |
Монотонные последовательности
Определение.
{an} называется монотонно возрастающей (убывающей), если
an<an+1 (an>an+1)
Определение.
{an} называется монотонно не возрастающей (не убывающей), если an 
an+1 (an 
an+1)
Какие последовательности называются
Теорема!!! Монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Утверждение теоремы следует из существования точной грани, для ограничения множеств.
Определение
{an} имеет предел 
Теорема!!! Неубывающая (не возрастающая) неограниченная последовательность имеет предел 
Число Эйлера
Теорема!!!
Фундаментальная последовательность
Теорема!!!(Коши)
Для того чтобы последовательность имела предел необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Предел функции. Определение предела по Гейне и Коши
Пусть f(x) определена в некоторой (трактованной) проколотой окрестности
(x0)={x:D<|x-x0|<(дельта)}
Определение 1. (Гейне) Число a называется пределом функции f(x) в точке x0 если ( 
{xn}) такой, что
{ 
=x0, xn<>x0} => 
=a
Определение 2 (Каши). Число a является пределом функции f(x) в точке x0, если ( 
>0) ( 
)
( x:0<|x-x0|< 
óx 
(x0, )) => (|f(x)-a|< ó f(x) 
(a, 
Теорема!!! Определение по Гайне и Коши
Односторонние пределы
Пусть f(x) определена на интервале (x0-c,x0)
Определение. Число a называется пределом функции f(x) в точке x0 при x -> x0 слева (левосторонний предел) если,
Гейне) ( {xn}), xn->x0
(xn<x0)
Коши) ( 
)( 
)
( x:0<x0-x< => |f(x)-a|<
Аналогично вводится правосторонний предел. (Упражнение. Составить определение правостороннего предела)
Теорема!!! Определение односторонних пределов по Гейне и Коши эквивалентны.
Теорема!!! Для того чтобы существовал f(x) в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали равные между собой односторонние пределы.
Обозначение
a= 
(левосторонний предел)
a= 
=f(x0-0) (левосторонний предел)
a= 
=f(x0+0) (Правосторонний предел)
Пример 
Основные свойства функции, имеющие предел в точке
1. Если предел существует, то он единственный
2. Если предел существует, то функция ограничена в некоторой окрестности этой точки.
3. 
, b<a (b>a), то ( 
(x0))( 
0)) => f(x)>b (f(x)<b))
4. 
=a и ( 0))(f(x) 
=> a 
5. 
0)) 
( 
= 
=a)
6. Предел сложной функции
Пусть а(ч) определена 
0) и 
=y0 , x 
(x0) f(x) <>y0
F(y) (y0) 
=> 
Теорема!!!
Предел форм и арифметические операции
1. 
2. 
3. 
, b<>0
Следствие 
Бесконечно большие и бесконечно малые функции
является бесконечно мало в x0 (x->x0)
– бесконечно мало (б. м.) (x->x0)
Теорема!!! a= óf(x)-a – бм (x->x0)
f(x)в точке х0 равен 
если
Гейне) ( xn)(xn -> x0; xn<>x0) => f(x0) ->
Коши) ( 
( 
(x0, 
=> |f(x)|>M, f(x)>M,
f(x)<(-M)
f(x) – бб (x->x0)
Замечание. Все эти свойства сформулированы для конечной точки x0 
Упражнение. Сформулировать эти определения x0=
Теорема!!! Для того чтобы существовал предел при необходимо и достаточно ó ( 
( 
x0, 
|f(x’)-f(x’’)|<
Предел монотонной функции
f(x) определен на интервале a,b называется
1) 
x1<x2 => f(x1)<f(x2)
2) 
x1 x2 => f(x1) f(x2)
3) 
x1>x2 => f(x1)>f(x2)
4) 
x1 x2 => f(x1) f(x2)
Теорема!!! f(x) является монотонной на интервале (a,b) и ограниченной, т. е. |f(x)| k, ( 
Тогда 
0, 
0+0) и 
0-0)
Неопределенность
При рассмотрении бб и бм последовательностей могут возникать следующие неопределенности
Если он существует, то нахождения называются раскрытием.
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
Сравнение функций
f(x) и g(x) определены 
0)
0)
1)|f(x)|<c|g(x)| (c>0)
f(x)=0(g(x)), x 
0)
2)f, g – бм x->x0 
f(x)=0(g(x)), x->x0
Пример x3=0(x2), x->0