Номинальная и эффективная ставки процентов
Номинальная ставка. Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году т. При каждом начислении проценты капитализируются, то есть добавляются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. Каждый раз проценты начисляют по ставке j/m. Ставка j называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле:
S=P(1+j / m ) N, (13)
где N - число периодов начисления (N=mn, может быть и дробным числом).
Пример 8.Ссуда 20 000 000 руб. предоставлена на 28 месяцев. Проценты сложные, ставка 18% годовых. Проценты начисляются ежеквартально. Вычислить наращенную сумму по истечении срока.
Известно:
P = 20 000 000 руб.,
j = 0,18 или 18% ,
n = 28 месяцев = 28/12 лет,
m = 4.
Найти S = ?
Решение.
1-й вариант.Вычисления по формулам с помощью подручных вычислительных средств по формуле (13).
Всего за n лет имеем N = mn = 4*(28/12) = 28/3 периодов начислений при ежеквартальном (m= 4) начислении процентов в году. По формуле (13) находим:S= 20 000 000 * (1+ 0,18 / 4 ) (28/3) = 30 161 206,25 руб.
2-й вариант.Для выполнения расчетов воспользуемся функцией СТЕПЕНЬ (из категории Математические). Данная функция возвращает результат возведения в степень, рис.13.
Рис. 13. Результаты расчета наращенной суммы по номинальной ставке. В ячейку H3 введена формула =B2*СТЕПЕНЬ(1+B4/4;C3)
3-й вариант.Вычисления с помощью встроенных функций Excel. Для выполнения расчетов воспользуемся функцией БС (см. категорию Финансовые). Результаты расчета приведены на рис. 14.
Рис. 14. Результаты расчета наращенной суммы S по номинальной ставке с использованием финансовой функции БС. В ячейку H4 введена формула =БС(B4/4;C3;;-B2).
При финансовом анализе широко используется понятие эффективной ставки. Чем выше эффективная ставка финансовой операции, тем при прочих равных условиях она выгоднее кредитору.
Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j/m.
Если проценты капитализируются траз в год, каждый раз со ставкой j/m, то, по определению, можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:
(1+ iэ )n = (1+j/m)mn , (14)
где iэ, j - эффективная и номинальная ставки.
Связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением
iэ= (1 + j / m)m -1. (15)
Пример 9.Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки в 16% годовых.
Известно:
j = 0,16 или 16% .
Найти i э = ?
Решение.
1-й вариант.Вычисления по формулам с помощью подручных вычислительных средств проводим по формуле (15):
i э = (1 + j / m)m -1= (1+ 0,16 /4)4 - 1 = 0,170, или 17,0%.
2-й вариант.Расчет эффективной ставки выполним в Excel по формуле (15), результаты расчета представлены на рис. 15.
Рис. 15. Результаты расчета эффективной ставки в среде Excel. В ячейку H3 введена формула =(1+B3/B2) ^ B2-1
3-й вариант.Расчет эффективной ставки выполним в среде Excel с использованием функции ЭФФЕКТ (из категории Финансовые). Данная функция возвращает эффективную (фактическую) процентную ставку, при заданной номинальной процентной ставке и количестве периодов, за которые начисляются сложные проценты, рис.16.
а)
б)
Рис. 16. Результаты расчета эффективной ставки (рис. а) и вид диалогового окна ЭФФЕКТ с введенными данными (рис. б). В ячейку H3 введена формула =ЭФФЕКТ(B3;B2)
Синтаксис функции ЭФФЕКТ (номинальная_ставка;кол_периодов). Аргументы функции:
номинальная_ставка – значение номинальной процентной ставки,
кол_периодов – количество периодов начисления.
Обратная зависимость между номинальной и эффективной ставкой выражена следующей формулой:
j = m [(1+ iэ )1/m-1]. ( 16)
Пример 10.Определить, какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку в 12% годовых.
Известно:
iэ = 0,12 или 12% .
Найти j = ?
Решение.
1-й вариант.Вычисления по формулам с помощью подручных вычислительных средств произведем по формуле (16):
j = m [(1+ iэ )1/m-1] =4*[ (1+0,12) (1/4) - 1 ] = 0,11495, или 11,495%.
2-й вариант.Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel воспользуемся математической функцией СТЕПЕНЬ, рис. 17.
Рис. 17. Результаты расчета эффективной ставки в среде Excel. В ячейку H3 введена формула =B2*(СТЕПЕНЬ(1+B3;1/B2)-1)
3-й вариант.Для выполнения расчетов номинальной ставки воспользуемся функцией НОМИНАЛ (из категории Финансовые). Данная функция возвращает номинальную годичную ставку при заданной эффективной ставке и числе периодов, за которые начисляются проценты. Результат расчета приведен на 18.
а)
б)
Рис. 18. Результаты расчета номинальной ставки (рис. а) и вид диалогового окна НОМИНАЛ с введенными данными (рис. б). В ячейку H3 введена формула =НОМИНАЛ(B3;B2)
Синтаксис функции НОМИНАЛ (эффект_ставка;кол_пер). Аргументы функции:
эффект_ставка – значение эффективной процентной ставки,
кол_пер – количество периодов начисления.