Производная по направлению
Пусть скалярное поле 
имеет в некоторой точке М0 значение U0, и пусть при перемещении 
по направлению вектора 
мы приходим из точки М0 в точку М, где скалярное поле имеет значение Us. Приращение U при этом перемещении равно 
. Предел отношения этого приращения dU к численной величине перемещения ds называется производной скаляра U в точке М0 по направлению :
Значение этой производной существенно зависитот выбора направления и ее ни в коем случае нельзя смешиватьс обыкновенной частной производной по скалярному параметру s. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, часто такую производную обозначают: 
12.Градиент.
Градиентом поля называется вектор, определяемый в каждой точке поля соотношением: 
Тогда 
, где 
- единичный вектор в направлении .
Часто вектор gradU обозначают также 
или 
, где 
("набла") обозначает символический вектор, называемый оператором Гамильтона или набла-оператором:
13.Поток поля через поверхность.
Разобьем данную поверхность S на n элементарных площадок размером 
. Внутри каждой площадки выберем точку 
- и в этой точке построим нормальный к поверхности единичный вектор и вектор 
направление которого а модуль . Тогда мы определяем:
1) Поток скалярного поля: 
2) Скалярный поток векторного поля: 
3) Векторный поток векторного поля: 
14.Производная по объему.
Под производными по объему скалярного или векторного полей в точке М понимают величины трех типов, которые получают следующим образом.
(1) Точка М окружается замкнутой поверхностью S, которая охватывает область с объемом V. (2) Вычисляется интеграл 
по поверхности S:
, или 
, или 
. (3) Определяется предел 
отношения этого интеграла к объему V, когда S стягивается в точку М, так что V стремится к нулю.
15. Дивергенция векторного поля.
Дивергенцией(обозначается 
) векторного поля 
называют следующую производную по объему поля в точке М:
Величина 
есть скалярный поток векторного полячерез замкнутую поверхность S, которая окружает точку М и охватывает область G с объемом V.
Дивергенция 
есть мера источников поля . Если в области G 
, то векторное поле называется свободным от источников. Те точки поля, в которых 
принято называть источникамиполя, а те, в которых 
— стокамиполя. 16.Формула Гаусса-Остроградского.
Для пространственной области G, ограниченной замкнутой поверхностью S:
17.Оператор Лапласа.
Пусть U(M) — скалярное поле, тогда оператор Лапласа 
определяется следующим образом:
или в декартовых координатах:
Оператор Лапласа векторного поля: 
18.Ротор векторного поля.
Ротором (вихрем) векторного поля называют следующую производную по объему поля в точке М:
Обозначается: 
19.Теорема Стокса.
Циркуляция векторного поля по замкнутой кривой L равна потоку ротора этого поля черезповерхность S , опирающуюся на кривую L:
Примечание.
В этом приложении приведены определения некоторых математических понятий, часто используемых в курсе физики. Материал носит справочный характер, поскольку предполагается, что данные понятия известны читателю.
ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ