Вычисление случайных погрешностей при прямых измерениях
При прямых измерениях значение искомой величины получают непосредственно по показаниям измерительного прибора. Так, например, длина измеряется линейкой, время по часам и т. д.
При проведении измерений величины х, из-за наличия случайных ошибок, получаем n различных значений: х1, х2, х3… хn
Истинным значением некоторой величины х принято считать среднее арифметическое значение этой величины.
,
.
Разность между средним значением и результатом i – го измерения называют абсолютной погрешностью отдельного измерения величины х
Средняя абсолютная погрешность измерения величины х
.
Для характеристики точности измерений служит относительная ошибка, которую принято выражать в процентах или в частях целого
ּ 
.
Доверительный интервал – интервал значений величины х, внутри которого с определенной вероятностью, называемой доверительной, находится величина хист:
.
Для нахождения доверительного интервала и доверительной вероятности необходимо установить закон, которому подчиняются случайные отклонения измеряемой величины от ее среднего арифметического значения. Этот закон – функция распределения, или плотность вероятности величины х.
.
Зная 
, можно определить вероятность того, что непрерывная случайная величина будет иметь значение в интервале от 
до 
.
.
Кривая нормального распределения и ее физический смысл
В лабораторном эксперименте проведено n измерений одной и той же физической величины и получены ее значения х1, х2, х3,...хn. Отложив эти значения в виде точек на оси абсцисс (рис.1), получим на этой оси множество точек (если число измерений достаточно велико), причем их плотность в одних местах будет больше, в других меньше. Выделим на оси абсцисс равные интервалы Δx = d, и сосчитаем, сколько точек попало в каждый интервал. Построив над каждым интервалом прямоугольник с высотой, равной количеству точек в данном интервале, получим ступенчатую кривую (гистограмму).
Например, в выделенный интервал, заключенный между значениями хi и хi + d, попало ki точек и высота прямоугольника 1 равна ki.
Отношение площади выделенного прямоугольника к площади всех прямоугольников, т.е. kid/[(k1 + k2+ ... + kn)d] = kid/nd = ki/n, определяет вероятность того, что при проведении единичного измерения его результат окажется в интервале между хi и xi + d.
Гистограмму строят так, чтобы сумма площадей всех прямоугольников была равна единице (такая процедура называется нормировкой). Тогда вероятность попадания результата измерения в интервале от х1 до х2 равна суммарной площади прямоугольников, заключенных между х1 и х2.
Если неограниченно увеличивать число измерений n, а интервал d устремить к нулю, то в пределе нормированная гистограмма перейдет в непрерывную кривую (рис.2), которую называют кривой нормального распределения. Функция распределения определяется формулой Гаусса
Физический смысл остается тем же: площадь под любым участком кривой нормального распределения равна вероятности «попадания» результата измерения в интервал х, ограниченный этим участком.
Входящую в формулу Гаусса величину s называют стандартным отклонением, а s2 - дисперсией измерения.
При достаточно большом числе измерений стандартное отклонение (или средняя квадратичная ошибка) определяется по формуле
Средняя квадратичная ошибка s используется, когда необходимо знать надежность полученных результатов.
В случае выполнения серии измерений, необходимо рассчитать средние арифметические 
каждого отдельного измерения и их средние квадратичные погрешности s, а затем определить среднюю квадратичную погрешность серии независимых прямых измерений одной и той же величины 
по формуле
или средняя квадратичная ошибка среднего значения
где: s - средняя квадратичная ошибка каждого отдельного измерения, n – число измерений.
При выполнении лабораторных работ студенты могут использовать как среднюю абсолютную ошибку, так и среднюю квадратичную. Какую из них применять указывается непосредственно в каждой конкретной работе (или указывается преподавателем).
Обычно если число измерений не превышает 3 – 5, то можно использовать среднюю абсолютную ошибку. Если число измерений порядка 10 и более, то следует использовать более корректную оценку с помощью средней квадратичной ошибки.