Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей
Плоскость, прямая, точка — основные понятия геометрии. Нам трудно дать им четкие определения, однако интуитивно мы понимаем, что это такое. Плоскость имеет только два измерения. У нее нет глубины. Прямая имеет лишь одно измерение, а у точки вообще нет размеров — ни длины, ни ширины, ни высоты.
Плоскость бесконечна. Поэтому в задачах мы рисуем только часть плоскости. Надо же как-то ее изобразить.
А как все это выглядит в пространстве? Очень просто. Лист плотной бумаги послужит «моделью» плоскости. Можете взять другой плоский предмет, например, CD-диск, пластиковую карту. Карандаши вполне могут изобразить прямые. Все аксиомы и теоремы стереометрии можно показать «на пальцах», то есть с помощью подручных материалов. Читаете — и сразу стройте такую «модель».
Две плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются. Примеры в окружающем пространстве найти легко.
Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
Мы не рассматриваем отдельно случай «плоскости совпадают». Раз совпадают — значит, это одна плоскость, а не две.
Угол между плоскостями
Пусть плоскости 
и 
заданы соответственно уравнениями 
и 
. Требуется найти угол 
между этими плоскостями.
Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку 
на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры 
и 
к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы 
и 
плоскостей и с началами в точке (рис. 11.6).
Рис.11.6.Угол между плоскостями
Если через точку провести плоскость 
, перпендикулярную линии пересечения плоскостей и , то прямые и и изображения векторов и будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).
Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый
Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой
В одном варианте (рис. 11.7) 
и 
, следовательно, угол 
между нормальными векторами равен углу , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями и .
Во втором варианте (рис. 11.8) 
, а угол между нормальными векторами равен 
. Так как
то в обоих случаях 
.
По определению скалярного произведения 
. Откуда
и соответственно
| (11.4) |
Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула (11.4) позволяет найти косинус острого угла между плоскостями.
Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей:
| (11.5) |
Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей
| (11.6) |
где 
-- любое число.
где 
- фиксированная точка, лежащая на прямой; 
- направляющий вектор.
В координатах (параметрические уравнения):
Уравнения прямой по двум точкам
24. Различные виды уравнений прямой в пространстве
Канонические уравнения прямой
Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:
x = x 1 + mt , y = y 1 + nt , z = z 1 + р t .
25. Взаимное положение прямых
Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и могут быть параллельны.
1. Пересекающиеся прямые
Пересекающимися прямыми называются такие прямые, которые имеют одну общую точку.
Из инвариантного свойства 5 следует, что проекция точки пересечения проекций прямых а и b есть точка пересечения этих прямых (рис. 3.4).
.
Рис. 3.4. Пересекающиеся прямые
2. Параллельные прямые
На рис. 3.5 изображены параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке (прямые, лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в бесконечно удаленной точке).
Из инвариантного свойства 6 следует, что проекции параллельных прямых а и b параллельны.
3. Скрещивающиеся прямые
Скрещивающиеся прямые – это прямые, не лежащие в одной плоскости, это прямые не имеющие ни одной общей точки.
На комплексном чертеже (рис. 3.6) точки пересечения проекций этих прямых не лежат на одном перпендикуляре к оси Х (в отличие от пересекающихся прямых, см. рис. 3.4).
.
Рис. 3.5. Изображение параллельных прямых
.
Рис. 3.6. Скрещивающиеся прямые
Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Если прямая параллельна плоскости проекции (h | | П1), то для того чтобы определить расстояние от точки А до прямой h необходимо опустить перпендикуляр из точки А на горизонталь h.
проходит через а, плоскость проходит через b), параллельная другой прямой.
Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельных прямых, равны.
