Корни многочлена и схема Горнера. Полиномы над числовыми полями

Комплексные числа

  1. Вычислить: (2+3i)(4–5i) + (2–3i)(4+5i).
  2. Найти х и у, считая их действительными числами: (1+2i)x + (3–5i)y = 1–3i
  3. Вычислить, пользуясь формулой Муавра: .
  4. Извлечь все корни: 1) . 2) . 3) . 4) .
  5. Выполнить действия: .

Теория делимости

  1. Вычислить НОД(588, 2058, 2849) двумя способами.
  2. Вычислить НОД(99, 162) двумя способами.
  3. Построить графики функций:

а) y=j (x), б) y=t(x), в) y= s(x), где x Î N.

14. Вычислить j (x),t(x), s(x), где x=588, x= 2058 .

 

 

Системы линейных уравнений

  1. Решить систему линейных уравнений методом последовательного исключения переменных:
    1) 2)
    3) 4)
    5) 6) .
  2. Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы и методом Крамера

1) 2)

Линейные системы векторов. Векторные пространства.

11. Исследовать, является ли линейно зависимой система векторов :
1) =(1, 2, 1), 2) =(1,–2,–1),
=(1, 1,–1), =(–1, 1,–1),
=(–1,–3,–3). =(–1,–3,–3).

12. Исследовать, является ли линейно зависимой система векторов , векторного пространства многочленов от одной переменной степени £ 2 над полем R, если
=f1(x)=3+x+2x2, =f2(x)=–2+x–x2.

  1. Доказать, что в вещественном пространстве квадратных матрицах второго порядка первый из трех векторов , , не выражается линейно через остальные.
  2. Подпространство V0 натянуто на систему векторов , где
    =(1, 2, 1), =(1, 1,–1), =(1, 3, 3). Найти базис и размерность V0.
  3. Найти размерность и базис линейных подпространств, натянутых на следующие системы векторов:

1) =(1,0,0,-1), =(2,1,1,0), =(1,1,1,1), =(1,2,3,4), ,

2) =(1,1,1,-1,0), =(1,1,-1,-1,-1), =(2,2,0,0,-1), =(1,1,5,5,2), .

 

  1. Вычислить ранг матрицы ; .

17. Найти один из базисов данной системы векторов и выразите остальные векторы системы через базисные, если =(1, 2, 1), =(1, 1,–1), =(–1,–3,–3), =(–1,–3,–3).

18. Векторы заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы сами образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе: =(1, 1, 1), =(1, 1,2), =( 1, 2, 3), =( 6,9,14).

Найти базис и размерность векторного пространства V над полем R, состоящего из всех матриц вида , где a, b, c, dÎR.

 

Матрицы и определители

  1. Умножить матрицы: ,
  2. Найти , если А= .
  3. Решить матричное уравнение: 1) ×X = 2)
  4. Вычислить: 1) , 2)
  5. Вычислить определитель матрицы, разложив по строке или столбцу: ,

Полиномы от одной переменной. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух полиномов

  1. Разложить многочлен f(x)=x12–2x6+1 на неприводимые множители над полем действительных и комплексных чисел.
  2. Найти остаток от деления f на g, пользуясь схемой Горнера: f=x4–2x3+4x2–6x+8, g=x–1.
  3. Найти НОД и НОК: f1=x3+2x2+3x +2, f2=x4+x3+x2–x–2, f3=x3–x2–4.
  4. Найти НОД многочленов f(x) и g(x):
    1) f(x)=x6+x5–3x4+2x3+4x–2, g(x)=x5+3x4+x3+6x2+4x+6.
    2) f(x)=(x–1)813(x+2)107(x–3)91 , g(x)=x9+x8–5x7+x6+11x5–13x4–7x3+15x2–4.
  5. Для многочленов f=x3–x2+3x–10 и g=x3+6x2–9x–14 найти такие многочлены u и v, что f·u+g·v=d, где d=НОД(f,g).
  6. Найти НОД(f,g) и его линейное представление через f и g: f=x3+x2-x–1, g=x4+x3-3x2-4x-1.
  7. Найти НОД(f,g) , НОК[f,g] и линейное представление НОД через f и g : f=x4–4x3+1, g=x3–3x2+1.

Корни многочлена и схема Горнера. Полиномы над числовыми полями

  1. Найти кратность корня c = –2 у многочлена f, если f=x5+6x4+11x3+2x2–12x–8.
  2. Разложить f по степеням двучлена x+2, если f=3x5+7x4+x3–2x+3 (с помощью схемы Горнера).
  3. Отыскать рациональные корни многочлена f(x):

1) f(x)=x4-2x3-8x2+13x-24,

2) f(x)=10x4-13x3+15x2-18x-24,

Основные понятия теории групп. Кольца и поля.

  1. Доказать, что множество целых чисел, кратных 3, есть подгруппа аддитивной группы целых чисел.
  2. Доказать, что множество матриц вида , где аÎR \ {0}, есть подгруппа мультипликативной группы G всех невырожденных матриц второго порядка.
  3. Доказать, что отображение x ® 3x является изоморфизмом аддитивной группы действительных чисел на мультипликативную группу положительных действительных чисел.
  4. Исследовать, образует ли кольцо относительно операций сложения и умножения матриц множество М матриц вида , где a, b- любые действительные числа.
  5. Проверить, образует ли поле кольцо <A,+,•> , если A= .
  6. Проверить, отображение j, такое, что
    j: , является ли изоморфизмом поля F1 на поле F2, где F1= , F2=Q( )= , а операции определены как обычно.