Б) Проверка домашнего задания (файл д_з.doc загружен на компьютере).
Пример 1. Докажите тавтологию ((X 
Y) 
(Y Z)) (X Z)
Решение.
| F1 | F2 | F3 |
| X | Y | Z | X Y
| Y Z
| X Z
| F1 F2
| (F1 F2) F3
|
Вывод. Высказывание ((XY)(YZ)) (XZ) является тавтологий (тождественно-истинное высказывание).
Пример 2. Установить истинность высказывания.
Решение.
| А | В | С | 
| С
| А  ( С)
|
|
Вывод. Высказывание истинно, когда:
А) A 
0; B 0; C 0; Б) A 0; B 1; C 0; В) A 0; B 1; C 1.
Пример 3.Эквивалентны ли высказывания:
и 
Решение.
| А | В | С |
| 
| 
| 
| 
| B
| 
|
Вывод.
Высказывание и высказывание не эквивалентны.
II. Составление таблиц истинности.
Упражнение 1. Из простых высказываний: “Виктор хороший пловец” - А; “Виктор хорошо ныряет” - В; “Виктор хорошо поет” - С, составлено сложное высказывание, формула которого имеет вид: X=(A C) (A B). Установить, эквивалентно ли высказывание Х высказыванию: “Виктор - хороший пловец и Виктор хорошо поет”.
Решение. Y=A C
| А | В | С | A C
| A B
| X | Y=A C
|
Вывод. Высказывание X не эквивалентно высказыванию Y.
Упражнение 2. Установить является ли данное высказывание тавтологией.
| A | B | A B
| 
| 
|
| 
|
|
Вывод. Высказывание является тавтологией.
Упражнение 3.Установить истинность высказываний:
а) ((X1 X2) X3) (X3 X1)
| F1 | F2 | F3 | ||||
| X1 | X2 | X3 | X1 X2
| F1 X3
| X3 X1
| F2 F3
|
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Вывод. Высказывание ((X1 X2) X3) (X3 X1) истинно, когда:
1) X1 1; X2 0; X3 0; 2) X1 1; X2 1; X3 1
б) ((X Y) (Y Z)) (X Z)
| F1 | F2 | F3 | F4 | ||||
| X | Y | Z | X Y
| Y Z
| F1 F2
| X Z
| F3 F4
|
Вывод. Высказывание ((X Y) (Y Z)) (X Z) истинно всегда.
Упражнение 4.Для формулы 
придумайте формализуемое предложение.
Решение. Пусть А – «Петр замечательно играет в шахматы»; В — «Семен играет на баяне»; С — «Галина смотрит телевизор»
Тогда и только тогда если Петр замечательно играет в шахматы, то Семен не играет на баяне, когда Галина смотрит телевизор и Петр замечательно играет в шахматы.
Самостоятельная работа.
Вариант №1.
Установить истинность высказывания 
Решение.
| X | Y | 
| 
| X Y
| 
|
|
2. Для формулы 
придумайте формализуемое предложение.
3. Установите, является ли высказывание (X Y) 
тавтологией.
Решение.
| X | Y | (X Y)
|
| 
|
| (X Y)
|
Вывод. Высказывание тавтологией не является.
4. Установите, эквивалентны ли высказывания?
Решение.
| A | B |
|
|
|
| A B
|
|
Вывод. X1 X3
Вариант №2.
1. Установить истинность высказывания 
Решение.
| X | Y | X Y
| 
|
| 
|
|
2. Для формулы 
придумайте формализуемое предложение.
3. Установите, является ли высказывание 
тавтологией.
Решение.
| X | Y | X Y
|
|
|
|
|
|
Вывод. Высказывание тавтологией не является.
4. Установите, эквивалентны ли высказывания?
Решение.
| X | Y |
|
| 
| 
| 
| 
| 
|
Вывод. A B
IV. Подача нового материала. (Использоватьпрограмму MATLOG).
Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики. Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств. Нарушения этих законов приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.
Перечислим наиболее важные из них:
- X X Закон тождества.
-
Закон противоречия -
Закон исключенного третьего -
Закон двойного отрицания - Законы идемпотентности: X X X, X X C
- Законы коммутативности (переместительности): X Y Y X, X Y Y X
- Законы ассоциативности (сочетательности): (X Y) Z X (Y Z), (X Y) Z X (Y Z)
- Законы дистрибутивности (распределительности): X (Y Z) (X Y) (X Z), X (Y Z) (X Y) (X Z)
- Законы де Моргана
, 
- X 1 X, X 0 X
- X 0 0, X 1 1
- Законы поглощения: X (X Y) X, X (X Y) X
- Законы склеивания: (X Y) ( Y) Y, (X Y) ( Y) Y
1-й закон сформулирован древнегреческим философом Аристотелем. Закон тождества утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует.
Закон противоречия говорит о том, что никакое предложение не может быть истинно одновременно со своим отрицанием. “Это яблоко спелое” и “Это яблоко не спелое”.
Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание либо истинно либо ложно. Третьего не дано. “Сегодня я получу 5 либо не получу”. Истинно либо суждение, либо его отрицание.
Закон двойного отрицания.Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания - то же, что утверждать это высказывание.
“ Неверно, что 2*2<>4”
Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Конъюнкция одинаковых “сомножителей” равносильна одному из них.
Законы коммутативности и ассоциативности. Конъюнкция и дизъюнкция аналогичны одноименным знакам умножения и сложения чисел.
В отличие от сложения и умножения чисел логическое сложение и умножение равноправны по отношению к дистрибутивности: не только конъюнкция дистрибутивна относительно дизъюнкции, но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции.
Смысл законов де Моргана (Август де Морган (1806-1871) - шотландский математик и логик) можно выразить в кратких словесных формулировках:
- отрицание логического произведения эквивалентно логической сумме отрицаний множителей.
- отрицание логической суммы эквивалентно логическому произведению отрицаний слагаемых.
Доказать законы логики можно:
- с помощью таблиц истинности;
- с помощью равносильностей.
Докажем законы склеивания и поглощения с помощью равносильностей:
- (X Y) ( Y) (X+Y) *( +Y) X* + Y* + Y*Y+ X*Y Y* + Y + X*Y Y* + Y(1+X) Y* +Y Y( +1) Y склеивания
- X (X Y) X*X+X*Y X+X*Y X(1+Y) X поглощения
Домашнее задание.
1. Является ли высказывание (X Y) (Y X) тавтологией.
2. Установить эквивалентны ли высказывания.
3. С помощью таблиц истинности доказать законы поглощения и склеивания.