Основные методы вычисления определителей
1. Для определителей 3-го порядка используют правило треугольников, которое схематично можно изобразить следующим образом:
Линии соединяют по три элемента, которые умножаются, а затем произведения складываются.
2. Определитель порядка n может быть вычислен разложением по любой строке (столбцу):
3. Метод эффективного понижения порядка определителя: используя свойства определителя, его преобразуют к такому виду, чтобы все элементы некоторой строки (столбца) определителя, кроме одного, стали нулевыми, затем вычисляют определитель разложением по этой строке (столбцу).
4. Метод приведения к треугольномуили диагональному виду с использованием свойств определителя, когда определитель равен произведению диагональных элементов.
Пример 1.Вычислить определитель 
различными способами.
Решение. 1-й способ. Используем правило треугольников:
2-й способ. Разложим определитель по первой строке:
3-й способ. Занулим элементы первой строки, т. е. используем метод эффективного понижения порядка. Для этого прибавим к элементам 3-го столбца элементы 1-го столбца. Затем разложим определитель по 1-й строке:
4-й способ. Используя свойства определителя, приведем его к треугольному виду:
Пример 2.Вычислить определитель 
Решение. Используем метод эффективного понижения порядка. Для этого из первой строки вычтем, а ко второй прибавим удвоенную третью строку. Полученный определитель разложим по первому столбцу:
Далее, ко второму столбцу определителя Δ прибавим третий столбец, после чего преобразуем следующим образом: прибавим к первому и третьему столбцам второй столбец, умноженный соответственно на –4 и на –6. В результате получим:
Пример 3.Выяснить, при каких условиях определитель 
не равен нулю.
Решение. Разложим определитель по 3-й строке:
Значит, 
, при 
.
Пример 4. Доказать равенство
Решение. Для доказательства используем метод математической индукции. Проверим справедливость утверждения при n = 1 и 2.
Пусть равенство выполняется при n = k, где k > 2, т. е. 
Докажем истинность при n = k + 1.
Утверждение доказано методом математической индукции.
Пример 5.Вычислить определитель:
1) 
2) 
где 
Решение. 1) Перейдем к алгебраической форме записи всех элементов заданной матрицы: 
Тогда
2) Вычислим определитель разложением по третьему столбцу:
Поскольку 
то 
Значит,
Задания
I уровень
1.1. Вычислите определитель:
1) 
2) 
3) 
4) 
1.2. Вычислите определитель с помощью правила треугольников:
1) 
2) 
3) 
1.3. Найдите миноры М11, М21 и алгебраические дополнения А13, А32 для матрицы 
1.4. Вычислите определитель, используя разложения по 1-й строке и по 2-му столбцу:
1) 
2) 
3) 
4) 
II уровень
2.1. Вычислите определитель, используя разложение по первой строке:
1) 
2) 
3) 
4) 
2.2. Вычислите определитель:
1) 
2) 
3) 
4) 
2.3. Вычислите определитель:
1) 
2) 
2.4. Используя метод эффективного понижения порядка, вычислите определитель:
1) 
2) 
2.5. Вычислите определитель приведением к треугольному виду:
1) 
2) 
2.6. Вычислите степень определителя:
1) 
2) 
III уровень
3.1. Решите уравнение:
1) 
2) 
3.2. Определите, при каких действительных a, b, c и d уравнение 
имеет два равных действительных корня.
3.3. Вычислите определитель:
1) 
2) 
3.4. Найдите определитель:
1) 
2) 
3) 
4) 
3.5. Решите неравенство:
1) 
2) 
3.6. Постройте график функции 
если 
3.7. Вычислите определитель:
1) 
2) 
3) 
где 
3.8. Вычислите определитель:
1) 
2) 