Дополнительные задачи и упражнения 5 страница
10.Многочлены p(x) и p’(x) взаимно просты. Следует ли из этого, что многочлен p(x) не имеет кратных корней?
11.Многочлен p(x) не имеет кратных корней. Следует ли из этого, что многочлены p(x) и p’(x) взаимно просты?
12.Обязательно ли, кратный корень многочлена p’(x) является также кратным корнем многочлена p(x)?
13.Пусть число c является корнем четного многочлена p(x). Будет ли корнем число -с для многочлена p(x)? А для нечетного многочлена?
14.Существует ли над полеем R неприводимый многочлен третьей степени?
Задачи и упражнения
[4, № 546, 549-552, 554-557, 577-580, 585, 587, 589, 590, 592, 593, 624-626, 650];
[6, № 7.1.1-7.1.4, 7.2.1-7.2.4, 7.2.8, 7.2.10, 7.2.11, 7.6.1, 7.6.2, 7.6.4, 7.7.2].
Индивидуальные задания
Задача 27. Даны многочлены ,
,
. Вычислить наибольший общий делитель: a) многочленов
и
;
b) многочленов и
;
c) многочленов и
.
![]() | ![]() | ![]() | |
1. | ![]() | ![]() | ![]() |
2. | ![]() | ![]() | ![]() |
3. | ![]() | ![]() | ![]() |
4. | ![]() | ![]() | ![]() |
5. | ![]() | ![]() | ![]() |
6. | ![]() | ![]() | ![]() |
7. | ![]() | ![]() | ![]() |
8. | ![]() | ![]() | ![]() |
9. | ![]() | ![]() | ![]() |
10. | ![]() | ![]() | ![]() |
11. | ![]() | ![]() | ![]() |
12. | ![]() | ![]() | ![]() |
13. | ![]() | ![]() | ![]() |
14. | ![]() | ![]() | ![]() |
15. | ![]() | ![]() | ![]() |
Задача 28. Для многочленов и
из задачи 27 найти такие многочлены
и
, что
.
Задача 29. Многочлен из задачи 27 разложить:
а) по степеням двучлена x-2;
б) по степеням двучлена x+1.
Задача 30. Найти кратные корни многочлена из задачи 23 и определить их кратность.
Задача 31. Разложить в сумму простейших дробей над полем действительных чисел:
(a) | (b) | |
1. | ![]() | ![]() |
2. | ![]() | ![]() |
3. | ![]() | ![]() |
4. | ![]() | ![]() |
5. | ![]() | ![]() |
6. | ![]() | ![]() |
7. | ![]() | ![]() |
8. | ![]() | ![]() |
9. | ![]() | ![]() |
10. | ![]() | ![]() |
11. | ![]() | ![]() |
12. | ![]() | ![]() |
13. | ![]() | ![]() |
14. | ![]() | ![]() |
15. | ![]() | ![]() |
Задача 32. Решить 3-4 из дополнительных задач.
Дополнительные задачи и упражнения.
1. Известно, что при делении на x+1 дает остаток 1, а при делении на x+2 дает остаток 2.Какой остаток дает
при делении на (x+1)(x+2)?
2. Некоторый многочлен при делении на (x-1)(x-2) и на (x-2)(x-3) дает соответственно остатки 2x и x+2. Какой остаток получится при делении этого многочлена на (x-1)(x-2)(x-3)?
3. Может ли некоторый многочлен при делении на (x-1)(x-2) и на (x-2)(x-3) давать соответственно остатки 2x и 4x?
4. Известно, что и
при делении на x2+ x + 1 дают один и тот же остаток x+1. Какой остаток при делении на x2 + x + 1 дает многочлен
?
5. Разложить на множители многочлен x3 -3x+A зная, что у него есть кратный корень?
6. Разложить на множители многочлен x3-7x2+14x+A зная, что его корни образуют геометрическую прогрессию.
7. Решить уравнение x3-6x2+Ax-6=0, если один из корней равен 3.
8. При каких значениях A многочлен 3x4+4x3-6x2-12x+A имеет кратные корни?
9. При каких значениях A один из корней многочлена вдвое больше другого?
10.При каких целых значениях p многочлен x3+px+2 имеет хотя бы один целочисленный корень?
11.Дан многочлен с действительными коэффициентами и известно, что
. Доказать, что
.
12.Дан многочлен с действительными коэффициентами и известно, что
. Доказать, что
.
13.Доказать, что в выражении не встречается x в нечетных степенях.
14.Найти сумму коэффициентов при всех степенях x в после раскрытия скобок и приведения подобных членов.
15.При каких значениях A многочлены x2 + Ax +1 и x2 + x +A имеют общий корень?
16.Для каждого из данных многочленов найти границы действительных корней и вычислить корни с точночтью до 0,001:
а) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
г) ![]() | д) ![]() | а) ![]() |