ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ
Пусть требуется решить систему уравнений
, (7.1)
где 
, 
,…, 
– заданные, вообще говоря, нелинейные (среди них могут быть и линейные) вещественнозначные функции 
вещественных переменных 
.
Обозначив
, 
, 
,
данную систему (7.1) можно записать одним уравнением.
(7.1a)
относительно векторной функции F векторного аргумента 
.
Таким образом, исходную задачу можно рассматривать как задачу о нулях нелинейного отображения 
.
Начнем изучение методов решения нелинейных систем с наиболее простого метода.
Пусть система (7.l) имеет вид (преобразована к виду):
(7.2)
или иначе, в компактной записи,
, (7.2а)
где
.
Для этой задачи о неподвижной точке нелинейного отображения 
запишем формально рекуррентное равенство
, 
(7.3)
которое определяет метод простых итераций (МПИ) (или метод последовательных приближений) для задачи (7.2).
Если начать процесс построения последовательности 
с некоторого вектора 
и продолжить по формуле (7.3), то при определенных условиях эта последовательность со скоростью геометрической прогрессии будет приближаться к вектору 
– неподвижной точке отображения 
. А именно, справедлива следующая теорема.
Теорема 7.1. Пусть функция и замкнутое множество 
таковы, что:
1) 
;
2) 
Тогда имеет в 
единственную неподвижную точку ; последовательность , определяемая МПИ (7.3), при любом 
сходится к и справедливы оценки
.
Однако практическая ценность такой теоремы не так велика из-за неконструктивности ее условий. В случаях, когда имеется хорошее начальное приближение 
к решению , больший интерес для приложений может представить следующая теорема
Теорема 7.2. Пусть функция дuфференцируема* в замкнутом шаре** 
причем 
. Тогда, если центр и радиус 
шара 
, таковы, что 
, то справедливо заключение теоремы 7.1 с 
.
Учитывая, что в линейном случае, как правило, по сравнению с МПИ более эффективен метод Зейделя (см. (6.12) и теорему 6.7), здесь может оказаться полезной подобная модификация. А именно, вместо (7.3) можно реализовать следующий метод покоординатных итераций:
(7.4)
Заметим, что как и для линейных систем, отдельные уравнения в методе (7.4) неравноправны, т.е. перемена местами уравнений системы (7.2) может изменить в каких-то пределах число итераций и вообще ситуацию со сходимостью последовательности итераций. Чтобы, применить метод простых итераций (7.3) или его зейделеву модификацию (7.4) к исходной системе (7.1), нужно, как и в скалярном случае, сначала тем или иным способом привести ее к виду (7.2). Это можно сделать, например, умножив (7.1а) на некоторую неособенную 
-матрицу – 
и прибавив к обеим частям уравнения – 
вектор неизвестных . Полученная система
эквивалентна данной и имеет вид задачи о неподвижной точке (7.2а). Проблема теперь, состоит лишь в подборе матричного параметра такого, при котором вектор-функция 
обладала бы нужными свойствами.