Векторное произведение в декартовой системе координат
Пусть 
, найдем их векторное произведение.
.
Приложения векторного произведения
Вычисление площадей.
Если на векторах 
и 
построен параллелограмм, то его площадь можно вычислить по формуле:
.
Если на векторах и построен треугольник, то его площадь можно вычислить по формуле:
.
На плоскости векторное произведение не определено, а площадь параллелограмма вычисляется следующим образом:
.
Пример.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
.
Решение.Воспользуемся формулой. Для этого сначала вычислим векторное произведение данных векторов
, тогда
.
Лекция 6
8. Смешанное произведение векторов: определение, свойства, вычисление
Пусть даны три вектора 
.
Определение 1. Смешанным произведением данных векторов называется число
.
Геометрический смысл смешанного произведения.
Пусть векторы некомпланарные и образуют правую тройку. Найдем объем параллелепи-
педа, построенного на этих векторах. Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, то есть 
, 
, тогда
.
Если вектор 
будет направлен в противоположную сто-
рону, - левая тройка и 
, следовательно,
, то есть
Объем параллелепипеда, построенного на векторах, равен их смешанному произведению, взятому
со знаком плюс, если тройка – правая и со знаком минус, если тройка векторов – левая.
Свойства
1). Если в смешанном произведении поменять местами какие-то два множителя, то смешанное произведение изменит знак, то есть
.
2). Если в смешанном произведении сделать циклическую перестановку множителей, то произведение не изменится, то есть
.
3). Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю.
Доказательство. 1) Пусть векторы компланарны, возможны следующие случаи:
а) один из векторов нулевой, например, 
, у него любое направление, поэтому он лежит в
плоскости двух других векторов(значит векторы компланарны), тогда
;
б) какие-то два вектора коллинеарны, например, 
, тогда вектор будет параллелен плос-
кости, построенной на векторах и ( по признаку параллельности прямой и плоскости), то
есть векторы компланарны, тогда 
.
в) все векторы ненулевые и нет коллинеарных векторов, тогда
, то есть вектор 
перпендикулярен плоскости векторов и , а в этой плоскости лежит и вектор , следовательно, 
, тогда 
(свойство скалярного произведения).
2) Пусть 
, векторы ненулевые и нет коллинеарных векторов, отсюда следует, что
, а по определению, то есть векторы компланарны.
Смешанное произведение в декартовой системе координат
Пусть даны векторы 
или
.