Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений
Существуют два основных типа систем дифференциальных уравнений:
– Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
– Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений
И два основных способа решения системы дифференциальных уравнений:
– Метод исключения. Суть метода состоит в том, что в ходе решения система ДУ сводится к одному дифференциальному уравнению.
– С помощью характеристического уравнения (так называемый метод Эйлера).
где 
- искомые функции от t; 
- постоянные числа;
- заданные функции, называется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка.
Такую систему методом исключения можно привести к одному линейному урав-нению не выше второго порядка.
Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
Простейшая однородная система дифференциальных уравнений имеет следующий вид: 
, где 
– это числа (числовые коэффициенты). Самые обычные числа. В частности, один, несколько или даже все коэффициенты могут быть нулевыми, но такое встречается редко, поэтому числа чаще всего не равны нулю.
и 
– это неизвестные функции. В качестве независимой переменной выступает переменная 
– это «как бы икс в обычном дифференциальном уравнении».
и 
– первые производные неизвестных функций 
и соответственно.
Решить систему дифференциальных уравнений это значит, найти такие функции и , которые удовлетворяют и первому и второму уравнению системы. Как видите, принцип очень похож на обычные системы линейных уравнений. Только там корнями являются числа, а здесь – функции.
Найденный ответ записывают в виде общего решения системы дифференциальных уравнений: 
Для системы ДУ можно решить задачу Коши, то есть, найти частное решение системы, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Частное решение системы тоже записывают с фигурными скобками.
Более компактно систему можно переписать так: 
. Но в ходу традиционно более распространен вариант решения с производными, расписанными в дифференциалах, поэтому
и – производные первого порядка; 
и 
– производные второго порядка.
Решение системы методом исключения. Суть метода – свести систему к одному дифференциальному уравнению.
Для этого надо взять первое или второе уравнение системы и выражаем из него x или y:
2)Дифференцировать по t обе части (правую и левую) полученного уравнения
Продифференцировав подставим (x и ) или (y и ) в первое уравнение системы.
Далее провести максимальные упрощения: Получится однородное или неоднородное ДУ.
Если однородное, то составим и решим характеристическое уравнение:
4)Идём за функцией или , для этого берём уже найденную функцию или , и находим её производную. Дифференцируем по :
Подставим или и x’(t) или y’(t) в уравнение, которое выражали в самом начале через x или y.
5)Обе функции найдены, запишем общее решение системы: 
6) Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям, если они присутствовали в условии.