Наращенные суммы для финансовых рент
Обычная годовая рента. Пусть в конце каждого года в течение плет на расчетный счет вносится по Rрублей, сложные проценты начисляются один раз в год по ставке i. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины R(1+i ) n-1,так как на сумму Rпроценты начислялись в течение (n-1) года. Второй взнос увеличится до R(1+i ) n-2 и т.д.
На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии: S =R+R(1+i)+R(1+i)2+…+R(1+i) n-1 ,
в которой первый член равен R, знаменатель (1+i), число членов п.
Отсюда:
S = R 
= R 
= R sn ; i , (23)
где 
- коэффициент наращения ренты. Он зависит только от срока ренты п и уровня процентной ставки i.
Пример 13.В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые 1 раз в год начисляются проценты по сложной годовой ставке в 10%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Известно:
n = 3 года,
R = 10 000 000 руб.,
i = 0,10 .
Найти S = ?
Решение.
1-й вариант.Вычисления по формулам с помощью подручных вычислительных средств производится по формуле (23):
S=10 000 000*[(1+ 0,1)3 - 1] / 0,1 = 33 100 000,00 руб.
2-й вариант.Для выполнения расчетов в Excel по формулам, дополнительно воспользуемся математической функцией СТЕПЕНЬ, рис. 26.
Рис. 26. Результаты расчета наращенной суммы S ( в ячейку H3 введена формула: =B3*(СТЕПЕНЬ(1+B4;B2) -1)/B4 ) )
3-й вариант.Для расчетов наращенной суммы S воспользуемся функцией БС (из категории Финансовые). Данная функция возвращает, будущую стоимость инвестиции на основе периодических равных по величине платежей и постоянной процентной ставке, рис. 27.
Рис. 27. Результаты расчета наращенной суммы S по функции БС (в ячейку H4 введена формула: =БС(B4;B2;-B3))
Синтаксис функции БС рассмотрен ранее (см. п.2.1. Сложные проценты).
Годовая рента c начислением процентов т раз в году. Если платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют траз в году, то каждый раз применяется ставка j/m, где j - номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид:
R(1+ j /m) m (n -1), R(1+ j /m)m (n-2), . . . , R .
Если читать последнюю формулу справа налево, то можно увидеть геометрическую прогрессию, у которой R - первый член, (1+j/m)m –знаменатель и n - число членов.
Сумма членов этой прогрессии представляет собой наращенную сумму ренты:
S = R [(1 + j / m) mn -1] / [(1 + j / m) m-1](24)
Пример 14.В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые ежеквартально (m = 4) начисляются проценты по сложной годовой ставке в 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Известно:
n = 3 года,
m = 4,
R= 10 000 000 руб.,
j = 0,10 .
Найти S = ?
Решение.
1-й вариант.Вычисления с помощью подручных вычислительных средств произведем по формуле (24):
S = 10 000 000*[(1+0,1/4) (4*3) - 1] / [(1+0,1/4) 4 - 1] = 33 222 157,88руб.
2-й вариант.Для выполнения расчетов по формулам в Excel дополнительно используем математическую функцию СТЕПЕНЬ, рис. 28.
Рис. 28. Результаты расчета в Excel (в ячейку H3 введена формула: =B4*(СТЕПЕНЬ(1+B5/B3;B3*B2) -1)/(СТЕПЕНЬ(1+B5/B3;B3)-1) )
3-й вариант.Вычисления с помощью встроенных функций Excel. В Excel отсутствует готовая финансовая функция для решения данной задачи.
Рента р - срочная, с начислением процентов один раз в год (m = 1).
Когда рента выплачивается рраз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года и известна R - годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа будет равен R/p. Тогда для получения формулы наращенной суммы при условии, что последовательность платежей с начисленными до конца срока процентами рассмотрим геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке,
, 
, 
,…, 
,
у которой R/p - первый член, (1+i)1/p - знаменатель, пр - общее число членов.
С учетом этого наращенная сумма такой ренты будет равна сумме членов этой геометрической прогрессии
S = 
= 
= Rs(p)n;i ,(25)
где s(p)n;i = 
-коэффициент наращения p-срочной ренты при m =1.
Пример 15.В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые в конце каждого года начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Известно:
n = 3 года,
m = 1,
R= 10 000 000 руб.,
p = 4,
i = 0,10 .
Найти S = ? Решение.
1-й вариант.Вычисления с помощью подручных вычислительных средств проведем по формуле (1.25):
S = (10 000 000/4) * [(1+0,1) 3 - 1]/ [(1+0,1) 1/4 - 1] =34 316 607,35 руб.
2-й вариант.Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel используем математическую функцию СТЕПЕНЬ, рис. 29.
Рис. 29. Результаты расчета в Excel (в ячейку H3 введена формула: =(B4/B5)*(СТЕПЕНЬ(1+B6;B2) -1)/(СТЕПЕНЬ(1+B6;1/B5)-1) )
3-й вариант.Вычисления с помощью встроенных функций Excel. В Excel отсутствуют готовые финансовые функции для решения подобных задач.
Рента р - срочная, когда число платежей совпадает с начислением процентов (р = т). В контрактах часто начисление процентов т и поступление платежа совпадают во времени, тогда р = т. Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой
Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год, тогда получаем:
S = 
= R 
.(26)
Пример 16.В течение 3-x лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежеквартально начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Известно:
n = 3 года,
p = m = 4,
R= 10 000 000 руб.,
j = 0,10 .
Найти S = ? Решение.
1-й вариант.Вычисления с помощью подручных вычислительных средств произведем по формуле (26):
S = 10 000 000*[(1+0,1/4) ( 4*3 ) - 1] / 0,1 = 34 488 882,42 руб.
2-й вариант.Для выполнения расчетов по формулам в Excel воспользуемся функцией СТЕПЕНЬ, рис. 30.
Рис. 30. Результаты расчета в Excel (в ячейку H3 введена формула: =B4*(СТЕПЕНЬ(1+B5/B3;B3*B2)-1)/B5) )
3-й вариант.Вычисления с помощью встроенных функций Excel. Для расчета наращенной суммы S воспользуемся функцией БС (из категории Финансовые). Данная функция возвращает, будущую стоимость инвестиции на основе периодических равных по величине платежей и постоянной процентной ставке, рис. 31.
Рис. 31. Результаты расчета наращенной суммы S ( в ячейку H5 введена формула: =БС(B5/B3;B2*B3;-B4/B3) )
Рента р - срочная, с произвольным поступлением платежей p ≥ 1, и произвольным начислением процентов m ≥ 1 (общий случай).Это самый общий случай р-срочной ренты с начислением процентов траз в году, причем, возможно, р ≠ т.
Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1/р года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами
= 
.
Второй член ренты к концу срока возрастет до
= 
,
и т.д.
Последний член этой записанной в обратном порядке геометрической прогрессии равен R/p, ее знаменатель (1+j/m)m/p,число членов пт.
Для данного случая наращенная сумма рассчитывается по формуле:
S = 
= 
. (27)
Из последней формулы легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая соответствующие значения р и т.
Пример 17.В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи (р=4) равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежемесячно (m=12) начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Известно:
n = 3 года,
m = 12,
R= 10 000 000 руб.,
p = 4,
j = 0,10 .
Найти S = ? Решение.
1-й вариант.Вычисления по формулам с помощью подручных вычислительных средств. По формуле (1.27) находим:
S = (10 000 000/4)*[(1+0,10/4)(3*12) -1] / [(1+0,10/4)(12/4) -1] =
= 34 529 637,96 руб.
2-й вариант.Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel в строку формул вводим формулу соответствующую (27) и для вычисления степени используем функцию СТЕПЕНЬ, рис. 32.
Рис. 32. Результаты расчета в Excel (в ячейку H3 введена формула: =(B4/B5)*(СТЕПЕНЬ(1+B6/B3;B3*B2) -1)/(СТЕПЕНЬ(1+B6/B3;B3/B5)-1) )
3-й вариант.Вычисления с помощью встроенных функций Excel. В Excel отсутствуют готовые финансовые функции для решения подобных задач.