Майбутня вартість грошей, її визначення і використання у фінансових розрахунках
Майбутня вартість грошей (F) є сумою інвестованих у нинішній момент грошових коштів, в яку вони перейдуть через певний період часу з урахуванням умов вкладення.
Простим видом фінансової операції є одноразове надання у борг деякої первинної суми (Р) при умові, що через деякий час (t) буде повернена сума (F), яка і є майбутньою вартістю грошей. Дана операція характеризується показником темпу приросту або процентною ставкою:
, (1)
де n(t) - темп приросту або процентна ставка;
F - майбутня вартість грошей;
Р - первинна (початкова) сума грошей.
З формули (1) виходить, що:
, (2)
Оскільки 
> 0, то можна стверджувати, що час створює гроші.
Приклад 1. Підприємство отримало кредит строком на 1 рік у розмірі 2,5 млн. грн. з умовою повернення 2,8 млн. грн. Визначити процентну ставку за кредитом.
Рішення: Використаємо формулу (1) і отримаємо:
або 10,7%
Існують дві основні схеми визначення майбутньої вартості грошей:
а) схема простих відсотків;
б) схема складних відсотків.
Розглянемо суть кожної схеми.
Залежно від того, коли проводиться нарахування відсотків, застосовують два методи нарахування: а) декурсивний метод - припускає нарахування відсотків в кінці періоду, при цьому використовують ставки нарощування; б) антиси-пативний метод - передбачає нарахування відсотків на початку періоду, при цьому використовують облікові ставки.
Суть схеми нарахування по простих відсотках або простим процентним ставках зводиться до того, що відсотки нараховуються протягом всього терміну фінансової операції на одну і ту ж величину грошових коштів, наданих для вкладення.
Формула для визначення майбутньої вартості грошей з використанням простих відсотків може бути представлена і наступному вигляді:
(3)
де F — майбутня вартість грошей по схемі простих процентів;
Р - первинна сума грошових коштів;
n - проста процентна ставка, долі одиниць;
t - термін нарахування відсотків (в роках).
Приклад 2. Підприємство отримало в банку кредит терміном на 3 роки у розмірі 2 млн. грн. по ставці простих відсотків у розмірі 12% річних. Визначити суму нагромадженого боргу (майбутню вартість кредиту з відсотками).
Рішення: З формули 3 слідує:
грн.
При використанні простих відсотків дуже часто період фінансової операції не дорівнює цілому числу років, тому періоди нарахування простих відсотків виражаються дробовим значенням, тобто як відношення числа днів або місяців функціонування операції до днів або місяців в році:
, (4)
де f - число днів (місяців) функціонування операції;
k - тривалість року (K = 365 (366) днів або 12 місяців).
З урахуванням формули (4) майбутня вартість грошей по схемі простих відсотків визначається таким чином:
(5)
Приклад 3. Банк видав кредит підприємству 10 березня у розмірі 2,5 млн. грн. з умовою повернення 10 червня. Проста процентна ставка встановлена у розмірі 12,5% річних. Визначити майбутню вартість кредиту по схемі простих відсотків.
Рішення: Тривалість кредиту складає 93 дні з 10 березня по 10 червня включно. Отже, використовуючи формулу (5) отримаємо:
грн.
При укладанні фінансових угод процентна ставка може бути не тільки постійною, але і змінюватися протягом періоду дії договору. В цьому випадку майбутня вартість грошей по схемі простих відсотків може бути визначена по формулі:
, (6)
де ni - ставка простих відсотків в період і;
ti - тривалість (період) нарахування ставки ni;
m - число періодів нарахування відсотків.
При капіталізації процентного доходу майбутня вартість грошей по схемі простих відсотків може визначатися по формулі:
(7)
Розрахунок майбутньої вартості грошей по простій обліковій ставці визначається по формулі:
, (8)
де F - майбутня вартість грошей по простій обліковій ставці;
Р - сума грошей, що надається у борг;
t - тривалість фінансової операції (роки);
d - облікова ставка, долі одиниць.
Приклад 4. Підприємство звернулося в банк за кредитом на термін 180 днів. Банк надає кредит на наступних умовах: відсотки (16% річних) повинні бути нараховані і виплачені з суми кредиту, що надається, в момент його видачі. Визначити загальну суму отриманого кредиту, якщо підприємству видали суму 600 тис. грн.
Рішення: Використовуємо формулу (8)
грн.
У фінансовій практиці достатньо часто виникає необхідність за відомими даними визначити процентну (облікову) ставку або період дії фінансової операції. Строк дії фінансової угоди може бути визначений по формулі:
(9)
Якщо період дії фінансового договору заданий в днях або місяцях, то можна скористатися формулою:
(10)
де k - 365 (366) днів або 12 місяців.
Приклад 5. Підприємство бажає отримати кредит в сумі 500 тис. грн. Банк надає кредит під 15% річних. На який термін підприємство може узяти кредит з тим, щоб сума, що підлягає поверненню не перевищила 550 тис. грн.
Рішення: Використовуємо формулу (10)
дні
Термін дії фінансової угоди при використанні облікової ставки може проводитися по формулі:
(11)
де t - термін позики в роках.
Коли термін договору визначається в днях (місяцях), то розрахунок ведеться по формулі:
(12)
де f - число днів (місяців) операції.
Приклад 6. Банк надає кредит підприємству на умовах облікової ставки 15% річних у розмірі 2 млн. грн. При видачі кредиту відсотки відняли зі встановленої суми, і підприємство отримало 1,9 млн. грн. Визначити на який термін підприємство отримало кредит.
Рішення: Використовуємо формулу 12
день
Якщо нам не відомі процентна ставка або облікова ставка, то їх можна визначити по наступних формулах:
Процентна ставка:
(13)
Облікова ставка:
(14)
Приклад 7. Підприємство звернулося в банк за кредитом в сумі 1,8 млн. грн. Банк погодився на видачу кредиту за умови, що він буде повернений через 90 днів у розмірі 1850 тис. грн. При розрахунку використовувалася облікова ставка. Визначити її величину.
Рішення: Використовуємо формулу 14
або 11%
Схема складних відсотків в практиці фінансових обчислень використовується ширше, ніж простих відсотків. Основна відмінність складних відсотків від простих полягає в тому, що процес нарощення здійснюється в кожному новому періоді нарахування не на первинну грошову суму, а на величину з урахуванням капіталізованих (доданих) відсотків.
Так же як і при нарахуванні простих відсотків існують два методи нарахування складних відсотків: декурсивний і антисипативний.
Майбутня вартість грошей по ставці складних відсотків визначається по формулі:
, (15)
де F - майбутня вартість грошей по ставці складних фіксованих відсотків;
Р - первинна сума грошей;
n - річна фіксована ставка відсотка, долі одиниць;
t - термін нарахування (число повних років).
Величину (1 + n) називають складним декурсивним коефіцієнтом, а величину (1 + n)t - множителем складних відсотків.
Приклад 8. Інвестор вклав в банк на депозитний рахунок 25000 грн. під 12% річних строком на 3 роки. Визначити майбутню суму грошей по схемі складних відсотків.
Рішення: Скористаємося формулою 15
F = 25000 х (1 + 0,12)3 = 35123,2 грн.
В умовах ринкової економіки, коли кон'юнктура фінансового ринку може мінятися достатньо швидко, банки використовують не тільки фіксовані, але і плаваючі складні процентні ставки.
Майбутня вартість грошей при плаваючих по періодах ставкам складних відсотків визначається по формулі:
(16)
де n1, n2, …, nm - послідовні значення ставок відсотків;
t1, t2, …, tm – періоди, на протязі яких використовуються відповідні ставки відсотків.
Приклад 9. Виробниче підприємство отримало в банку кредит на суму 10 млн. грн. строком на 3 роки. Процентна ставка по роках встановлена в розмірах: для першого року - 20% річних, для другого року - 18% річних, для третього року - 15% річних. Визначити суму зобов’язань, після закінчення терміну кредиту.
Рішення: Використовуємо формулу 16
млн. грн.
Задача 10. Підприємство отримало в банку кредит на суму 10 млн. грн. строком на 5 років. Процентна ставка по роках плаваюча: перший і другий рік – 22% річних, третій і четвертий - 18% річних, п’ятий рік - 16% річних. Визначити суму зобов’язань, після закінчення терміну кредиту.
Рішення: Використовуємо формулу 16
млн.. грн.
Якщо термін фінансової операції виражений дробовим числом, то в таких випадках нарахування відсотків може виконуватися двома способами:
а) по формулі складних відсотків
, (17)
де t = a+b - період операції (а — ціле число років, b — дробова частина року).
б) змішаним способом
, (18)
При t = b < 1, тобто при загальному терміні менше року, майбутня вартість грошей по змішаному методу буде більша, оскільки (1 + 
) > (1 + n)b.
У практиці фінансових обчислень дуже часто передбачається внутрішньорічне нарахування відсотків з їх капіталізацією. Річна ставка в цьому випадку називається номінальною, а для внутрішньорічних нарахувань вказується число періодів (m), по яких проводиться нарахування відсотку протягом року. В цьому випадку майбутня вартість грошей при внутрішньорічних нарахуваннях визначається по формулі:
, (19)
де m - число періодів нарахування відсотків в році.
Приклад 11. Вкладник поклав на депозитний рахунок 10 тис. грн. на 2 роки з умовою поквартального нарахування процентів. Процентна ставка 12%. Відсотки складні. Визначити майбутню вартість грошей через 2 роки.
Рішення: Використовуємо формулу 19
тис. грн.
У фінансових обчисленнях по схемі складних відсотків часто виникає необхідність за відомими даними визначити період дії фінансової угоди або процентну ставку.
Термін дії фінансової операції можна визначити по формулам:
а) при нарощуванні по номінальній ставці відсотків:
, (20)
б) за умови внутрішніх нарахувань (m) разів на рік:
, (21)
Номінальна процентна ставка визначається по формулі:
, (22)
Процентна ставка при внутрішньорічних нарахуваннях визначається по формулі:
, (23)
Різними видами фінансових угод можуть бути передбачені різні схеми нарахування відсотків. Щоб полегшити порівняльний аналіз ефективності таких договорів необхідно мати показник, який був би універсальним для будь-якої схеми нарахування. Таким показником може бути ефективна річна процентна ставка (r), яка забезпечує перехід від первинної величини вкладеної суми (Р) до майбутньої вартості грошових коштів (F) при заданих значеннях цих показників.
По Е.М. Четиркіну множники номінальної і ефективної ставок повинні бути рівні:
, (24)
Звідки ефективна річна процентна ставка дорівнює:
, (25)
З формули 25 виходить, що ефективна ставка залежить від кількості внутрішньорічних нарахувань, причому із зростанням (m) вона збільшується.
Приклад 12. Підприємство може отримати позику на наступних умовах:
1) щомісячного нарахування відсотків по ставці 14% річних;
2) щоквартального нарахування відсотків по ставці 16% річних;
3) піврічного нарахування відсотків по ставці 18% річних;
4) річного нарахування відсотків по ставці 20% річних.
Який варіант нарахування кращий для підприємства?
Рішення: Скористаємося формулою 25
1) r = (1 + 0,14 /12)12 -1 = 0,14934 або 14,9%;
2) r = (1 + 0,16/4)4 – 1= 0,16985 або 17,0%;
3) r = (1 + 0,18/2)2 – 1 = 0,1881 або 18,8%;
4) r = (1 + 0,2) -1 = 0,2 або 20%.
Розрахунок ефективної річної процентної ставки показує відносні витрати підприємства по обслуговуванню позики. Чим вище ефективна ставка, тим більше рівень витрат підприємства.
Отже, варіант 1 найбільш переважний для підприємства, оскільки питома вага витрат по обслуговуванню позики складає тільки 14,9% проти 17%, 18,8%, 20% при інших варіантах нарахування.
Нарахування відсотків на початково вкладену суму грошових коштів може проводитися дуже часто, тому такий процес нарахування можна розглядати як безперервний. В цьому випадку використовуються безперервні відсотки. Суть безперервних відсотків полягає в тому, що кількість періодів нарощування прагне до нескінченності, а часовий інтервал між періодами нарахування - до нуля.
Позначимо ставку безперервних відсотків (q), тоді майбутня вартість грошей в межах одного року визначається по формулі:
, (26)
Якщо процес безперервного нарахування відсотків продовжується більше 1 року, то формула майбутньої вартості приймає вигляд:
(27)
Із взаємозв'язку між процентною і безперервною ставками виходить:
, (28)
(29)
Нарахування складних антисипативних відсотків проводиться аналогічно розрахунку простих антисипативних відсотків. З цією метою для визначення майбутньої вартості грошей при використанні складних антисипативних відсотків застосовується формула:
, (30)
де 
- коефіцієнт нарощування при обчисленні складних антисипативних відсотків;
d - облікова ставка складних відсотків;
t - число років;
Р - первинна сума грошей;
F - майбутня вартість грошей.
Якщо нарощування по складних антисипативним відсотках проводиться (m) раз на рік, то майбутня вартість грошей визначається по формулі:
, (31)
де m - число періодів нарахування процесів в рік.
Приклад 13. Сума 40 тис. грн. покладена в банк на 2 роки. За умовами договору нарахування відсотків проводиться по складній обліковій ставці d=10% річних. Визначити майбутню вартість грошей.
Рішення: Використовуємо формулу 30
тис. грн.
Як вже наголошувалося раніше, інфляційні процеси є одним з чинників зміни вартості грошей в часі. Тому у фінансових розрахунках необхідно враховувати інфляційний чинник.
Для визначення майбутньої вартості грошей з урахуванням інфляції по схемі складних відсотків може бути використана формула:
, (32)
де FL - майбутня вартість грошей з урахуванням інфляції по схемі складних відсотків;
Р - первинна сума вкладених грошей;
- множник нарощування, що враховує середньорічні темпи інфляції;
t - число повних років;
n — номінальна ставка відсотків;
L — темп приросту інфляції;
(1 + L)t = Jt - індекс інфляції за t період.
Приклад 14. Вкладник вклав в банк суму рівну 10 тис. грн. на термін 3 року під 12,5% річних. Темп приросту інфляції складе 6,5% в рік. Визначимо майбутню вартість грошей з урахуванням інфляційного чинника. Для розрахунку використовується складна процентна ставка.
Рішення: Використовуємо формулу 32
тис. грн.
Для зменшення дії інфляції і компенсації втрат від зниження купівельної спроможності грошей використовуються різні методи. Одним з них є індексація процентної ставки. Суть цього методу полягає в тому, що процентна ставка корегується відповідно до темпу інфляції. Величина корегування зазначається в договорі.
Процентну ставку, скореговану на темп інфляції можна визначити по формулі:
, (33)
де Jt — індекс інфляції за t період;
t - термін фінансової операції;
n - номінальна процентна ставка;
nL - процентна ставка, скорегована на індекс інфляції.
Приклад 15. Банк виділив кредит на 8 місяців у розмірі 300 тис. грн. Очікуваний рівень інфляції - 0,5% на місяць, необхідна реальна прибутковість операції дорівнює 16% річних .Визначити ставку відсотків за кредитом з урахуванням інфляції, майбутню вартість виданої суми, величину процентного
платежу.
Рішення: Використовуємо формули 32 і 33.
або 22,8%
тис. грн.
Процентний платіж = 345,6 - 300 = 45,6 тис. грн.
При видачі довгострокових кредитів складна ставка відсотка (nL), що забезпечує при річному рівні інфляції (L) реальну ефективність фінансової операції (n), визначається по формулі:
, (34)
Приклад 16. Підприємство отримало кредит у розмірі 5 млн. гр. на 3 роки. Прибутковість по кредиту повинна складати 20% річних (складні відсотки). Прогнозований рівень інфляції 5% в рік. Визначити ставку відсотків при видачі кредиту, а також майбутню вартість заборгованості.
Рішення: Використовуємо формули 34 і 32
nL = 0,2 + 0,05 + 0,2 х 0,05 = 0,26 або 26%
FL = 5 х (1+0,26)3 = 10,00188 = 10,002 млн. грн.
У тому випадку, коли використовується величина індексу інфляції за весь термін фінансової операції, то процентна ставка, що враховує інфляцію, визначається по формулі:
(35)