Теорема (критерий Сильвестра)

Для того чтобы симметрическая матрица была положительно определённой, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы были положительными:

Для отрицательно определенных матриц знаки главных миноров чередуются начиная со знака «-» для : :

Замечание.

Если матрица знакоопределенная, то все её главные миноры не равны 0.

Экономическая интерпретация

В экономических исследованиях часто приходится сталкиваться с задачей анализа результатов наблюдений

Например, пусть имеются данные о цене нефти и индексе нефтяных компаний , представленные в виде следующей таблицы по результатам биржевых торгов.

… …
… …

 

Требуется наилучшим образом сгладить зависимость между переменными и , то есть отразить общую тенденцию зависимости от в виде эмпирической формулы

Для решения подобной задачи используется метод наименьших квадратов.

Задача нахождения эмпирической формулы разбивается на два этапа.

Этап 1 . Устанавливается общий вид зависимости от

Например, в качестве зависимостей могут быть взяты:

- линейная функция

;

-квадратичная функция

-показательная функция

и т.д.

Строится функция

(5)

где – вектор неизвестных параметров.

Этап 2 .

Решается задача определения неизвестных параметров (6) – задача безусловной оптимизации:

(6)

Пусть решением задачи (6) является точка тогда геометрически это можно представить на рисунке 3.

Рис. 3.

То есть кривая является наилучшей в смысле минимума суммы квадратов невязок между значениями , найденными по эмпирической формуле и экспериментальными значениями

Рассмотрим конкретную задачу.

Задача 1. Пусть в качестве функции взята линейная функция:

Тогда поиск наилучшей кривой сводится к решению задачи безусловной оптимизации:

(7)

где зависит от двух переменных и .

Значения при решении задачи (7) выступают как постоянные величины.

Вычислим частные производные:

и

Запишем необходимые условия оптимальности:

;

Получим систему двух линейных алгебраических уравнений относительно двух неизвестных и .

(8)

Система уравнений (8) имеет единственное решение (так как определитель системы не равен нулю, а точнее, он больше нуля).

(можно доказать методом математической индукции).

Убедимся что решение системы (8) дает функции .

Для этого вычислим матрицу Гессиана

(см. выше)

Следовательно, согласно критерию Сильвестра

матрица является положительно определенной.

Следовательно, стационарная точка являющаяся решением системы уравнений (8), обеспечивает функции в задаче (7).