Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2
Определение 7.
ОДУ 1-ого порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида или в дифференциальной форме
Теорема 1.
Если в уравнении функции
,
, причём в прямоугольнике
функции
,
то задача Коши
(3)
имеет решение и притом единственное.
Заметим, что в случае, если , то уравнение
переписывается в виде:
.
Если теперь ввести обозначения и
,тоуравнение переписывается в виде
, и задача (3) приобретает стандартный вид задачи Коши (2).
Доказательство.
ЭТАП (нахождение общего решения уравнения)
Перепишем уравнение в виде:
, (*)
идалее воспользуемся условием , которое позволит нам поделить последнее равенство на
. Получим:
. (**)
Поскольку, по условию, все функции непрерывны, а функции, стоящие в знаменателях еще и отличны от нуля, то существуют первообразные
и
функций
и
, соответственно. Для них равенство (**) переписывается так:
(***)
Но если равны дифференциалы функций, то сами функции могут отличаться только на константу, то есть
(!)
Равенство (!) представляет собой запись общего решения исходного уравнения , а равенство
– запись его общего интеграла.
ЭТАП (нахождение решения задачи Коши)
Поскольку все решения нашего уравнения могут быть записаны в виде (!), то и частное решение, которое удовлетворяет условию Коши , если оно существует, должно, при некотором значении константы
иметь тот же вид (!). Чтобы найти подходящее значение
, подставим в (!) условие Коши. Получим:
. (!!)
Тут важно заметить, что каково бы ни было начальное условие, т.е. , константа
, удовлетворяющая (!!), всегда существует и притом определяется единственным образом. Поэтому существует и притом единственное решение исходной задачи Коши (3), и оно задается формулой
.
Замечание.
В уравнении (*) как в левой, так и в правой частях есть функции, зависящие от , и функции, зависящие от
. В то же время при переходе к (**) мы добились, чтобы в левой части встречалась только переменная
, а в правой – только
. Этот процесс носит название разделения переменных.
Пример.
Решить уравнение с разделяющимися переменными . Для разделения переменных обе части уравнения разделим на
. Чтобы не потерять решение, необходимо проверить, являются ли корни
,
решениями исходного уравнения. Для этого рассмотрим 3 случая:
1) , т.е.
, подставляем в исходное уравнение и получаем
решение.
2) ,
, т.е.
, подставляем в исходное уравнение и получаем
решение.
3) , тогда
,
или
, где
. Потенцируя уравнение, получаем:
,
, где
.
Запишем: ,
,
,
. Т.к. решение
получается из решения
при
, то допустив, что
может принимать значение, равное нулю, получаем окончательно:
,
, где
- любое.
Билет
Функция называется однородной функцией степени
, если
справедливо
.
Определение 0.2.
Однородным уравнением называется уравнение вида , где
,
- однородные функции одной и той же степени.
Определение 0.3.
Однородным уравнением называется ОДУ 1-ого порядка , правая часть которого является однородной функцией нулевой степени, т.е.
.
Последнее равенство означает, что если точка принадлежит области определения функции
, то этой же области принадлежит и открытый луч, проходящий через начальную точку и данную точку
:
.
Полагая , запишем
.
В результате приходим ещё к одному определению однородного уравнения.
Определение 8.
Однородным уравнением называется уравнение вида
Теорема 2.
Если ,
,
то для любых
решение задачи Коши
(6)
Доказательство.
Введём новую неизвестную функцию тогда
,
,
,
, при этом
. Задача Коши (6) сводится к следующей задаче
. Получили задачу Коши для ОДУ 1-ого порядка с разделяющимися переменными. Согласно теореме (§3 настоящей главы) эта задача имеет решение и притом единственное
Пример.
Решить задачу Коши .
Уравнение является однородным. Вводим новую неизвестную функцию
,
,
, отсюда
,
,
, где
.
, отсюда
. Решаем задачу Коши: т.к.
, то
,
,т.е.
.