Динамические прямоугольники
Примеры пропорций «золотого сечения» известны из множества предметов быта, объектов техники, архитектуры, произведений изобразительного, декоративно-прикладного искусства и дизайна. Они создают впечатление гармоничных пропорциональных форм. Художественный эффект размерно-пропорциональных отношений частей проектируемого объекта, обосновывается факторами антропометрии. Наряду с ними играют важную роль технологические, потребительские, эстетические и другие целесообразности. Свойства «золотой» пропорции имеют место в практической и творческой деятельности различных специалистов.
Экспериментальное формообразование, основанное на структуре правильных или полуправильных многогранниках, приводит к свидетельству того, что свойства «золотых» пропорций - неотделимая сторона их существования. То есть, существования многогранников в таких формах, какими они известны в геометрии. Из этого следует, что геометрические фигуры, которые включаются экспериментатором в тот или иной пространственный образ, контролируются простыми отношениями «золотых» пропорций.
На рисунке 23 изображены прямоугольные схемы, которые демонстрируют пропорционирование динамических образов.
На рисунке 23 квадрат является основой для построения пропорциональных отношений между фигурами: а - прямоугольник строится по «золотому сечению»; б- динамическое расчленение «золотого» прямоугольника; в - построение прямоугольника 
; г - построение прямоугольника 
; д - построение прямоугольника 
, 
и т. д.; е -вариант - схема динамического построения (1, с. 47).
Рис. 23.
Для того чтобы создавать динамические прямоугольники 
, 
…, то для каждого из них строится предшествующий прямоугольник. Например, «золотой» прямоугольник предшествует построению прямоугольника . Прямоугольник предшествует построению прямоугольника , а прямоугольник 
построению прямоугольника и т. д. Диагонали этих прямоугольников применяются в качестве радиусов. С помощью дуг получают засечки точек на продолженных сторонах оснований прямоугольников. Из полученных точек строятся перпендикуляры и оформляются в фигуры, которые увеличивают исходные прямоугольники (рис., 23 г).
Проиллюстрируем «золотые» пропорции на примере двойственной пары икосаэдра и додекаэдра, которые имеют к ним прямое отношение. Используем квадрат в качестве основы - плоскости проекции. На ней отражены фрагменты двойственной пары, отсеченные экваториальными плоскостями (рис. 24, 25). Каждая проекция ограничивается квадратом ABCD. Отрезки координатных осей, принадлежащие экваториальным плоскостям, равны между собой и равны сторонам квадрата ABCD.
На проекции икосаэдра (рис. 24) представлено разбиение внешнего квадрата на четыре равные части (малые квадраты). К каждому из четырёх квадратов применяется способ построения «золотого» прямоугольника по методу квадрата. На чертеже белыми кружками отмечены точки, из которых как из центров соответствующим радиусом засекаются точки на сторонах AD и BC. Соединение противоположных пар точек, приводит к созданию «золотого» прямоугольника. Его стороны, принадлежащие плоскости проекции, выделены красным цветом.
Рис. 24. Рис. 25.
Чтобы построить пропорциональный прямоугольник додекаэдра (рис. 25), необходимо, как и в случае с проекцией икосаэдра, выполнить разбиение внешнего квадрата ABCD на четыре равные части. К каждому малому квадрату применяется схема построения прямоугольника . Из точек A, B, C и D, как из центров соответствующим радиусом засекаются точки на сторонах AD и BC. Полученные пары противоположных точек соединяются между собой, образуя пропорциональный прямоугольник. Его большие стороны на схеме выделены красным цветом.
На рассмотренных двух изображениях (рис. 24, 25), относящихся к двойственной паре, вынесены обозначения соответствующие пропорциям «золотого сечения».
Внешние границы квадрата заключают фигуру сечения икосаэдра - неправильный шестиугольник (рис. 24). Пара его горизонтальных отрезков является рёбрами икосаэдра, а две боковые пары сторон шестиугольника - биссектрисы. Каждая из них делит грань икосаэдра на две равные части. Через серединные точки противоположных пар рёбер многогранника проходит ось симметрии второго порядка. Две из них принадлежат плоскости проекции, а третья проходит через центр симметрии. Оси симметрии второго порядка совпадают с координатными осями в трёхмерном пространстве. Таким образом, двадцатигранный икосаэдр заключается вовнутрь правильной формы куба (рис. 26). В такой «связке» через пары противоположных вершин куба и середины параллельных пар граней икосаэдра, проходят оси симметрии третьего порядка. На рисунке 26 три грани макета куба представлены рёбрами. Это сделано для наглядного восприятия трёхмерной рёберной модели икосаэдра. На гранях куба отмечены тонкими линиями (нитями) три прямоугольника координатных плоскостей.
Рис. 26.
Перейдём к рассмотрению проекции додекаэдра в определённой последовательности (рис. 25). На плоскости внешнего квадрата обнаруживается фигура сечения - неправильный шестиугольник. Он образован парой горизонтально расположенных рёбер и двумя парами биссектрис. Они делят грани додекаэдра на две равные части. У додекаэдра, как у его двойника, оси симметрии второго порядка проходят через середины противоположных пар рёбер. Видно, что две оси взаимно перпендикулярны и принадлежат плоскости проекции. Третья ось симметрии проходит через серединную точку ребра и центр симметрии многогранника, то есть перпендикулярно плоскости проекции. Оси симметрии второго порядка совпадают с координатными осями трёхмерного пространства. Это позволяет располагать додекаэдр внутри правильного куба и производить действия, подобно описанию икосаэдра.
На рисунке 27 изображены схемы пошагового деления «золотого» динамического прямоугольника. На нихиллюстрируется гармоничное деление прямоугольника сетью вертикальных, горизонтальных и диагональных линий.
Рис. 27.
На основе рёберно-сетчатой модели двойственной пары икосаэдра и додекаэдра, появилась уникальная возможность для построения схемы динамических прямоугольников на одной плоскости проекции. В экваториальной плоскости лежат фигуры сечения, чередующихся по принципу двойственности многогранников в трёхмерном пространстве. На схеме д (рис.27) представлено гармоничное деление прямоугольников следами продолженных плоскостей граней двойственных многогранников (икосаэдра и додекаэдра).
Сначала производят деление исходного «золотого» прямоугольника (рис. 27 а, б, в, г) и задают контуры динамических прямоугольников. Отметим, что на нашей схеме (д) изображены сплошными толстыми линиями (синий и красный цвета) шестиугольные фигуры сечения икосаэдра и додекаэдра. Внутри неправильных шестиугольников, на плоскости проекции, лежат динамические прямоугольники. Линии сторон, отмеченные синим цветом - пропорциональные прямоугольники икосаэдра. Линии сторон, отмеченные красным цветом, принадлежат пропорциональным прямоугольникам додекаэдра.
Подчеркнём, что дополнительное деление «золотого» прямоугольника производится продолжениями плоскостей граней двойственной пары многогранников. Стороны их шестиугольных сечений, совпадающие со следами плоскостей граней, продолжены.
На схеме (рисунок 27 д) обнаруживаем точки, через которые проходят следы ответствующих продолжений. Представленная схема отражает определённую последовательность двойственной пары икосаэдра и додекаэдра в пространстве рёберно-сетчатой модели. Вершины и грани чередуются по осевым и диагональным линиям динамических прямоугольников. В соответствии с принципом двойственности по вертикальной оси и диагонали чередуются: вершина, грань, вершина, грань. А по горизонтальной оси чередуются: грань, вершина, грань, вершина и т.д., в том или ином направлениях.
Взгляд изнутри
На рисунке 28 внизу (слева) изображена рёберная модель икосаэдра, вверху (слева) - один из двенадцати его пятигранных углов. Каждый из них состоит из пяти равносторонних треугольников. В вершинах углов сбегаются по пять сторон треугольников, а их свободные стороны ограничивают равносторонние пятиугольники.
Рис. 28.
Они лежат на диагональных плоскостях икосаэдра.
Перенесём взгляд на правую сторону рисунка 28. На верхнем изображении отсутствует пятигранный угол. На плоскости пятиугольника образована пентаграмма (пятиконечная звезда). Её стороны выделены красным цветом. Напомним, что стороны пентаграммы - большие стороны так называемых « золотых» прямоугольников икосаэдра. Каждая сторона пентаграммы содержит по две точки, которые делят их в отношении «золотого сечения». То есть отношение стороны пентаграммы к более короткой её части равно примерно 1,618: 1. Для нахождения точек на стороне пентаграммы могут применяться числа Фибоначчи. То есть элементы числовой последовательности (1, 1, 2, 3, 5, 8, …), в которых каждый последующий член равен сумме двух предыдущих.
Число диагональных плоскостей, на которых отражаются пентаграммы, соответствует числу вершин икосаэдра, так и числу граней двойственного ему додекаэдра.
На правой стороне рисунка 28 (внизу) представлена та же модель рёберного икосаэдра. Её внутреннее пространство заполнено нитями. Красным цветом выделены рёбра пятиугольных граней додекаэдра. Они образованы пересечением больших сторон «золотых» прямоугольников. В результате обнаруживаем во внутреннем пространстве рёберного икосаэдра двойственный ему додекаэдр. Рассмотрим изображение на рисунке 29.
Рис. 29.
На рисунке 29 представлена проекция наложенного многогранного угла на плоскость чертежа. Основание угла совпадает с продолжениями икосаэдра. Через вершину угла, в котором сбегаются три пятиугольные грани додекаэдра, проходит ось симметрии третьего порядка перпендикулярно к плоскости проекции. Основание многогранного угла додекаэдра на чертеже ограничено неправильным шестиугольником, стороны которого, выделены синим цветом. Из шести его сторон, три являются рёбрами додекаэдра, а три - диагоналями его пятиугольных граней. Число диагональных плоскостей, через середины которых проходят оси симметрии третьего порядка, соответствует числу вершин додекаэдра и числу граней двойственного ему икосаэдра.
Рассмотрим следующее изображение (рис. 30).
Рис. 30.
На нём представлена рёберно-сетчатая модель додекаэдра с видом на «вершину» (слева) и на « ребро» (справа). Красным цветом отмечены линии, упоминаемые как стороны «золотых» прямоугольников. На виде «вершина» три его стороны (красные линии) пересекаются и ограничивают в центре диагональной плоскости додекаэдра равносторонний треугольник. Всего равносторонних треугольников, внутри додекаэдра, равно двадцати, что соответствует числу его вершин. При рассмотрении трёхмерной рёберно-сетчатой модели, наблюдаем внутри пространства додекаэдра двойственный ему икосаэдр с его продолжениями. На рисунке 30 (справа) две горизонтальные линии, выделенные красным цветом, являются большими сторонами динамического прямоугольника. Его малые боковые стороны на проекции - рёбра додекаэдра.
РАЗДЕЛ 4
ЗВЁЗДЧАТЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ
Звёздчатые фигуры
Звёздчатые многоугольники образуются в результате продления их сторон до взаимного пересечения. Продолжения, в подавляющем большинстве, образуют ограничения новых частей плоскости. Этот феномен не обнаруживается в случае с треугольником, квадратом, прямоугольником, ромбом, параллелограммом, так как продолженные стороны будут расходиться. Иной результат дают n - угольники, у которых число сторон больше четырёх. Исключением являются трапеции, дельтоиды.
Продолженные стороны таких многоугольников пересекаются и во внешних частях плоскости ограничивают новые отсеки. Заданный n - угольник остаётся, так сказать, внутри плоскости в окружении отсеков. Таким образом, проявляется свойство плоскости - её продолжение, а фигуры, располагающиеся внутри и на внешних частях плоскости - её ограничения.
Если продолжить стороны правильного треугольника или квадрата, то обнаружим отсутствие каких-либо отсеков. Продолженные их линии расходятся и не образуют новых частей. Продолжения сторон пятиугольника выглядят иначе (рис. 31 а, б, в).
Рис. 31. Рис. 32.
Равносторонние (правильные) n-угольники с числом сторон пять, шесть, семь, восемь и т. д. дадут новые ограничения продолженными сторонами. Например, продолжения равностороннего пятиугольника образуют пятиконечную звезду (пентаграмму). В случае с правильным восьмиугольником продолжения сторон приводят к образованию восьмиугольной звезды (октаграммы). На основе правильного десятиугольника создаётся десятиугольная звезда (декаграмма). Смотреть рисунок 32 а, б, в.
Продолжения сторон n –угольников на плоскости могут применяться в декоративном оформлении плоскости. Достаточно применить к соответствующим n-угольникам геометрические свойства плоскости: любая прямая, соединяющая две её точки, целиком принадлежит ей. Например, соединим смежные вершины (точки) n-угольной звезды прямыми линиями. Затем продолжим их до взаимного пересечения. В результате новые прямые, разбивая плоскость, будут прибавлять новые отсеки к уже существующим отсекам.
Продолжения многогранников в трёхмерном пространстве отличаются от продолжений многоугольников. В случае с n-угольными фигурами нетрудно убедиться в том, как их продолженные стороны преобразуют двухмерное пространство плоскости. Линии членят плоскость и оставляют на ней добавленные к исходной фигуре новые части. Представить преобразование двухмерного моночертёжа многогранника в трёхмерный образ значительно сложнее. Представить множество пересекающихся плоскостей граней не всегда удаётся. В трёхмерном случае на специальных чертежах (моночертежах) изображаются следы продолженных плоскостей, которые прибавляют к исходному многограннику новые части. В процессе макетирования важно располагать демонстрационным материалом, своего рода базой данных, которая позволяет наглядно ориентироваться в трёхмерных продолжениях. Таким материалом являются рёберно-сетчатые модели многогранников. По ним удобно визуально выделять различные плоскости сечения многогранника, которые связаны с процессом продолжений. Нити, расположенные на секущих плоскостях, моделируют следы, которые изображаются на моночертежах. Научные публикации остаются кладовой математических открытий, которые демонстрируют образование удивительных звёздчатых форм платоновых и архимедовых многогранных тел.
Обратимся к существующему опыту, поясняющему процесс продолжений на конкретном примере: «Икосаэдр имеет двадцать граней. Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено великим многообразием отсеков - частей пространства, ограниченных плоскостями граней» (4, с.51).
Проиллюстрируем изложенное утверждение простым способом. Если к граням трёхмерного двадцатигранника примкнуть тонкие картонные «плоскости», то получится модель продолжения его граней. Такая примитивная модель позволяет демонстрировать само продолжение параллельной пары граней икосаэдра. Но стоит попытаться мысленно представить несколько пересекающихся плоскостей, скорее всего, наступит разочарование. В таком случае картина трёхмерного продолжения плоскостей двадцатигранника, представляется искаженно.